要想劃分區域最多，必須n條直線兩兩相交。

1條直線----2個區域

2條直線----4個區域

3條直線----7個區域

4條直線----11個區域

n條直線----1+n*（n+1）/2個區域

猜想1:對於所有邊界C1凸區域A，n個可以由A等距變換和scaling作用後得到的區域劃分k維空間的最大數目漸進於cn＾k

猜想2:k位空間中所有最大值情形都可以透過有限個k個集合的笛卡爾積的線性組合構造出來。

我提供一個可能證明這兩個猜想的框架。

證明框架：可以透過把整個模型對映到有限個點的模型來簡化問題。step1：在k維空間中取若干個點，點集計為B。根據這些點對於所有圖形的從屬情況來判斷整個空間被劃分成了多少個區域。這一步我們希望把整個空間抽象成一個圖，一個區域將空間分塊實際上就是和這個圖的一些邊相交，然後產生新的點和邊，每一個點就是一塊，每一個邊就是兩塊區域相交的面，凸性就是用來控制每增加一個區域事會增加多少點和邊。step2：在k維空間中一個影象的邊界是k-1維影象，我們證明每新增一個圖形，最多影響|B|^{/frac{k-1}{k}}個點(在大範圍內這個估計會有效，證明可能用到競爭對稱性)，這一步證明嚴格依賴於凸性以及曲率。（這一步需要利用Rn的拓撲，所以我們組合上把Rn看成(Zn)^{/infty}，可能還需要利用有限域或者多尺度分析）step3：第二步我們把每一步過程離散化，透過bootstrp裡面每一步的最優分析，我們可以得到一些關於極大值情形點的位置分佈的資訊