問主你好，這是光學的一道基礎題目。但是由於積分比較難，所以又很不基礎。處於各種原因考慮，我還是用一些篇幅說明光衍射的唯象模型——惠更斯-菲涅爾原理。
按照惠更斯原理，同相位的光場元形成的面即為波面，波面上每一個光場元發出的次波的包絡面即為下一個波面。菲涅爾考慮到光的干涉性，於是修改為“……次波相干疊加形成下一個波面”。這裡的說法是比較專業的，與一般《大學物理》教科書裡的說法有些不同，但是更準確。光場元指的是光場中的一個振動元，可以理解為一個很小的波面dΣ，但是還是有所不同。
下面稍微數學一些。
k是傾斜因子，A(Q)是前一個波面上的的振幅分佈，Q表徵波面上選取的點。
【這個模型基本是從天上掉下來的，所以在19世紀基爾霍夫對此表示不贊同。他認為如果光是電磁波，那麼從麥克斯韋理論就能完美地獲得光的衍射理論。基爾霍夫的想法促成他提出了新的衍射理論。我們在大學階段學習光學是不提這個理論的，但在電動力學的最後面幾章會有所提及。兩個模型大致一樣，但是基爾霍夫的模型更有根據。】
菲涅爾在光源為有限遠的情況下，為了積出這個積分，提出了所謂的半波帶方法，就是以P為中心，畫出若干個球面，且球面半徑之差為半波長整數倍。用這些半波帶去分割波面從而使積分退化為多個振動和，具體細節這裡不去多提，因為對我們討論圓孔衍射沒有多少幫助。
下面切入正題了。考慮一個圓孔和無窮遠的光源，為了方便計算，我們只考慮上面數學公式裡e-指數的實部，並考慮傾斜因子變化不大（這個假設不是很嚴謹，如果用基爾霍夫衍射理論就沒有這種不嚴謹了），振幅分佈均勻，那麼有
其中
簡單解釋一下引數，r0是圖中A到衍射屏上P點的距離。delta是r-r0
這是一般教科書給出的結論，但是和之前的方程對比會發現這裡把分母裡的r當成了常數吸收到常數C裡，請讀者思考這是為什麼？
下面開始做積分。這個積分開頭兩三步很簡單，這裡略去。我們從真正有困難的一步開始。
RHS的積分反映光強大小。我們仔細計算它的表示式會發現許多數學障礙。問主要我們把圓孔衍射的表示式寫成第一類一階Bessel函式，這就需要我們瞭解數理方程。這裡有幾種方案可以證明這個積分是Bessel函式，為了簡單，我才用級數展開。【另外的方案有：化為微分方程，對積分做變換使之與Bessel函式的積分表示式一直等。】具體的操作比較瑣碎，這裡只給出結論。
右邊和第一類一階Bessel的展開式相似，其中
問主你好，這是光學的一道基礎題目。但是由於積分比較難，所以又很不基礎。處於各種原因考慮，我還是用一些篇幅說明光衍射的唯象模型——惠更斯-菲涅爾原理。
按照惠更斯原理，同相位的光場元形成的面即為波面，波面上每一個光場元發出的次波的包絡面即為下一個波面。菲涅爾考慮到光的干涉性，於是修改為“……次波相干疊加形成下一個波面”。這裡的說法是比較專業的，與一般《大學物理》教科書裡的說法有些不同，但是更準確。光場元指的是光場中的一個振動元，可以理解為一個很小的波面dΣ，但是還是有所不同。
下面稍微數學一些。
k是傾斜因子，A(Q)是前一個波面上的的振幅分佈，Q表徵波面上選取的點。
【這個模型基本是從天上掉下來的，所以在19世紀基爾霍夫對此表示不贊同。他認為如果光是電磁波，那麼從麥克斯韋理論就能完美地獲得光的衍射理論。基爾霍夫的想法促成他提出了新的衍射理論。我們在大學階段學習光學是不提這個理論的，但在電動力學的最後面幾章會有所提及。兩個模型大致一樣，但是基爾霍夫的模型更有根據。】
菲涅爾在光源為有限遠的情況下，為了積出這個積分，提出了所謂的半波帶方法，就是以P為中心，畫出若干個球面，且球面半徑之差為半波長整數倍。用這些半波帶去分割波面從而使積分退化為多個振動和，具體細節這裡不去多提，因為對我們討論圓孔衍射沒有多少幫助。
下面切入正題了。考慮一個圓孔和無窮遠的光源，為了方便計算，我們只考慮上面數學公式裡e-指數的實部，並考慮傾斜因子變化不大（這個假設不是很嚴謹，如果用基爾霍夫衍射理論就沒有這種不嚴謹了），振幅分佈均勻，那麼有
其中
簡單解釋一下引數，r0是圖中A到衍射屏上P點的距離。delta是r-r0
這是一般教科書給出的結論，但是和之前的方程對比會發現這裡把分母裡的r當成了常數吸收到常數C裡，請讀者思考這是為什麼？
下面開始做積分。這個積分開頭兩三步很簡單，這裡略去。我們從真正有困難的一步開始。
RHS的積分反映光強大小。我們仔細計算它的表示式會發現許多數學障礙。問主要我們把圓孔衍射的表示式寫成第一類一階Bessel函式，這就需要我們瞭解數理方程。這裡有幾種方案可以證明這個積分是Bessel函式，為了簡單，我才用級數展開。【另外的方案有：化為微分方程，對積分做變換使之與Bessel函式的積分表示式一直等。】具體的操作比較瑣碎，這裡只給出結論。
右邊和第一類一階Bessel的展開式相似，其中