我來告訴你劉徽與他“割圓術”。
“割圓術”是中國數學史上的一個偉大創舉。運用這一方法,劉微求得了圓周率π=3.14和π=3.1416這兩個較為精密的近似數值。這個結果是當時世界上的最佳資料。
關於圓的周長和其直徑之間的比率問題(即圓周率),是古今中外數學家們共同感興趣並一直孜孜以求的重要問題。中國古代從先秦開始,一直取“周三徑一”(即π=3)的數值來進行有關圓的計算。但是用這個數值進行計算的結果誤差很大。按照劉徽的分析,用“周三徑一”算出來的周長,實際上不是圓的周長而是圓內接正六邊形的周長。東漢的張衡不滿足這個結果，他從研究圓與它的外切正方形的關係著手,得到圓周率π≈3.16。劉徽認為這個結果“增周太多，過其實矣",即計算出來的圓周長要超過實際的圓周長。“失之遠矣”，也不精確，劉徽以極限思想為指導,首創“割圓術”以求圓周率,從此為四周率的計算指出了一條科學的道路。
相傳有一天，劉徽看到石匠在加工石料。石匠們接過一塊四四方方的大青石，先斫去石頭的4個角，石頭就變成一塊八角形的石頭，然後再斫掉8個角，石頭變成了16角形。這樣一斧一鑿地敲下去，一塊方石就在不知不覺中被加工成了一根光滑的圓石柱了。劉徽看呆了。突然間，腦子裡靈光一閃，他趕緊回到家裡，立刻動手在紙上畫了一個大圓，然後在圓裡面畫了一個內接正六邊形，用尺子一量，六邊形的周長正好是直徑的3倍。然後，他又在圓裡面畫出內接正１２邊形、２４邊形、４８邊形……他驚喜地發現，圓的內接正多邊形的邊數越多，它的周長就和圓的周長越接近。劉徽最偉大的發明“割圓術”出現了。
《九章算術》“圓田術”給出了一個求圓面積的方法。即在已知圓的直徑和它的周長的情況下，“半周半徑相乘得積步”，即圓面積= 周長 直徑。這個方法是如何得來的，它的理論根據是什麼,它的正確性又如何，這些向題《九章算術》都沒有說.《九章算術》只是給出了一個結論而未作任何證明。劉徽對這個公式作了詳細的證明，並且在證明中提出了他的創造性的思想.
這一段註文引述如下:
按半周為從。半徑為廣，故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚（念gū古同弧）之一面,與圓徑之半,其數均等。合徑率一百外周率三也。又按為圖.以六觚之一面乘半徑。因而三之。得十二觚之冪。若又割之。次以十二觚之一面乘半徑。因面六之,則得二十四觚之冪.割之彌細,所失彌少。割之又割，以至於不可割,則與圓合體而無所失矣。觚面之外，猶有餘徑,以面乘餘徑，則冪出弧表。若夫觚之細者。與圖合體,則表無餘徑。表無餘徑,則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之.每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。此以周徑,謂至然之數，非周三徑一率也。週三者從其六觚之環耳。以推圓規多少之較,乃弓之於弦也。然世傳此法，莫肯精核。學者踵古,習其謬失。不有明據，辯之斯難。凡物類形象,不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之,其用博矣。
我來告訴你劉徽與他“割圓術”。
劉徽用極限思想解決數學問題的一個最傑出的典範，是他所創立的“割圓術”——即用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積的方法“割圓術”是中國數學史上的一個偉大創舉。運用這一方法,劉微求得了圓周率π=3.14和π=3.1416這兩個較為精密的近似數值。這個結果是當時世界上的最佳資料。
關於圓的周長和其直徑之間的比率問題(即圓周率),是古今中外數學家們共同感興趣並一直孜孜以求的重要問題。中國古代從先秦開始,一直取“周三徑一”(即π=3)的數值來進行有關圓的計算。但是用這個數值進行計算的結果誤差很大。按照劉徽的分析,用“周三徑一”算出來的周長,實際上不是圓的周長而是圓內接正六邊形的周長。東漢的張衡不滿足這個結果，他從研究圓與它的外切正方形的關係著手,得到圓周率π≈3.16。劉徽認為這個結果“增周太多，過其實矣",即計算出來的圓周長要超過實際的圓周長。“失之遠矣”，也不精確，劉徽以極限思想為指導,首創“割圓術”以求圓周率,從此為四周率的計算指出了一條科學的道路。
傳說“割圓術”是這麼發明的相傳有一天，劉徽看到石匠在加工石料。石匠們接過一塊四四方方的大青石，先斫去石頭的4個角，石頭就變成一塊八角形的石頭，然後再斫掉8個角，石頭變成了16角形。這樣一斧一鑿地敲下去，一塊方石就在不知不覺中被加工成了一根光滑的圓石柱了。劉徽看呆了。突然間，腦子裡靈光一閃，他趕緊回到家裡，立刻動手在紙上畫了一個大圓，然後在圓裡面畫了一個內接正六邊形，用尺子一量，六邊形的周長正好是直徑的3倍。然後，他又在圓裡面畫出內接正１２邊形、２４邊形、４８邊形……他驚喜地發現，圓的內接正多邊形的邊數越多，它的周長就和圓的周長越接近。劉徽最偉大的發明“割圓術”出現了。
劉徽的“割圓術”是在為《九章算術》卷一“圓田術”所作的註文中提出來的《九章算術》“圓田術”給出了一個求圓面積的方法。即在已知圓的直徑和它的周長的情況下，“半周半徑相乘得積步”，即圓面積= 周長 直徑。這個方法是如何得來的，它的理論根據是什麼,它的正確性又如何，這些向題《九章算術》都沒有說.《九章算術》只是給出了一個結論而未作任何證明。劉徽對這個公式作了詳細的證明，並且在證明中提出了他的創造性的思想.
這一段註文引述如下:
按半周為從。半徑為廣，故廣從相乘為積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚（念gū古同弧）之一面,與圓徑之半,其數均等。合徑率一百外周率三也。又按為圖.以六觚之一面乘半徑。因而三之。得十二觚之冪。若又割之。次以十二觚之一面乘半徑。因面六之,則得二十四觚之冪.割之彌細,所失彌少。割之又割，以至於不可割,則與圓合體而無所失矣。觚面之外，猶有餘徑,以面乘餘徑，則冪出弧表。若夫觚之細者。與圖合體,則表無餘徑。表無餘徑,則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之.每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪。此以周徑,謂至然之數，非周三徑一率也。週三者從其六觚之環耳。以推圓規多少之較,乃弓之於弦也。然世傳此法，莫肯精核。學者踵古,習其謬失。不有明據，辯之斯難。凡物類形象,不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之,其用博矣。
劉徽這一大段論述,可以把他的證明分解為以下三步:一、在劉微看來.用“周三徑一”計算出來的圓周長,實際上是圓內接正六邊形的周長,它與圓周長相差很多;但我們可以在圓內接正六邊形把圓周等分為六段弧的基礎上,再繼續等分,把每段弧再分割為二,做出一個圓內接正十二邊形,那麼這個內接正十二邊形的周長就要比正六邊形的周長更接近於圓周了;如果把圓周再繼續分割,使成一個圓內接正二十四邊形，那麼這個圓內接正二十四邊形的周長又比正十二邊形的周長更接近圓周。“割之彌細,所失彌少。”越是分割得細,其內接正多邊形的周長就越是接近圓周,如此不斷地分割下去，“割之又割,以至於不可制，則與圓合體面無所失矣",即到了圓內接正多邊形的邊數無限多的時候，它的周長就與圓周一致而“合體”了。 二、當求圓內接正多邊形的面積時，可以把觚面與半徑相乘。這時候,觚面把與它垂直的半徑切成兩段，在觚面之外還有一段餘徑,把觚面與從圓心到觚面的這一段徑相乘，其積剛好是以圓心為頂角、以觚面為底邊的等腰三角形面積的兩倍,這沒有什麼問題.問題是觚面與餘徑相乘,其積是一個長方形,面積要超出圓周之外。但是，當圓內接正多邊形的邊數無限增多,觚面的長度無限減小到“不可割”的點時,這個以無限小的觚面為底邊、以圓心為頂角的等腰三角形的高就剛好等於半徑，也就是“表無餘徑”了。“表無餘徑則冪不外出",觚面與半徑相乘的面積就不會落到圓的外面去了。三、可以把圓面積看作是無數個以無限小的觚面為底邊、以圓心為頂角的等腰三角形面積的總和.已知等腰三角形的面積等於以它的底邊為寬、以它的高為長的長方形面積的一半。所以我們還可以把這些等腰三角形的面積轉化為長方形的面積來計算，即使它底邊的總和為長方形的長,高為長方形的寬。根據前面的證明，當圓內接正多邊形的邊數無限增多,觚面的長度無限減小到"不可割"的點時。這些觚面長度的總和(也就是無限多的等腰三角形底邊的總和),剛好等於圖周;而這些等腰三角形的高,剛好等於半徑。又因為觚面與半徑相乘的面積是這個等腰三角形的兩倍,因此實際上可以把這個長方形的長看作是圓周長的一半，而寬則為半徑,即“半周為從，半徑為廣”。長方形的面積為長寬相乘.長既為圓的半周,寬又為圓的半徑,所以“半周半徑相乘得積步",其乘積就是圓的面積了.劉徽的上述證明既巧妙,又嚴密，他兩次使用了極限的方法一是使圓內接正多邊形的邊數無限增多,使其周長無限逼近圓周長而以圓周長作為它的極限；二是使無限多個等腰三角形的高逼近半徑而以半徑為其極限；這樣,半周與半徑相乘等於圓面積的公式就有了理論的依據而顛撲不破了。所以劉微稱其為“至然之數,非周三徑一率也。"有了割圓術這樣的方法，再利用勾股定理進行嚴密的推算, 圓周率π=3.14和3.1416這兩個資料，也就都不難得到了,以後的祖沖之求出 3.1415926<π<3.1415927.也正是劉徽這一方法進一步運用的合理結果。