英國數學家羅素曾經說過：“數學不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美。”數學嚴密的邏輯性可構建牢固堅實的數理大廈，高度的抽象性令天馬行空的想象躍然紙上，廣泛的應用性將其豐富的內涵滲透到生活的點滴之中。數學之美，往往藏於深處。這種內在魅力、潛在的美，越仔細咀嚼越回味無窮。

可能接觸過數學的人都有體會，數學有一個大的特點就是抽象。而數學物件都是抽象思維的產物。所謂抽象思維，一般指抽出同類事物的共同的、本質的屬性或特徵，捨棄非本質的屬性或特徵的過程。

抽象是什麼？

抽象是數學思維中的核心概念，幫助我們簡化生活中的問題。抽象本來就是讓我們忽略去掉一些條件，把現實的事情抽象化。

抽象性是數學的基本特點之一，抽象也是數學活動最基本的思維方法。數學中的抽象，是指從研究物件或問題中抽取出的事物在數量關係和空間形式等方面的本質屬性，而捨棄其他屬性對其進行考察的方法。數學中的概念、定理、公式等都是數學抽象或再抽象的結果，在此基礎上進一步構造數學模型，建立數學理論。

抽象之所以讓人難以理解，因為它帶我們離開了具體事物的世界，而進入只存在於頭腦中的“概念”的世界。在概念的世界裡，我們可以隨意暢遊、連線、關聯出新的關係。

數學抽象的主要表現形式

對於數學，抽象主要包括兩個方面的內容：數量與數量關係，圖形與圖形關係。這就意味著，數學的抽象不僅僅要抽象出數學所要研究的物件，還要抽象出這些研究物件之間的關係。與研究物件的存在性相比，研究物件之間的關係更為本質。數學還有第五種運算——極限運算，涉及數以及數的運算的第二次抽象。

首先表現在數量方面。

數學抽象時，不考慮它們是用什麼材料製成的，也不考慮它們的顏色、質量、硬度、彈性等特性，而只就它們的形狀和大小進行抽象，得出“球”“球心”“球半徑”“球的表面積”“球的體積”等數學二概念。

其次數學中的許多概念都是從現實世界抽象出來的。

比如幾何學中的“直線”這一概念，並不是指現實世界中拉緊的線，而是把顯示的線的質量、彈性、粗細等性質都撇開了，只留下了“向兩端無限伸長”這一屬性，但是現實世界中沒有向兩端無限伸長的線。數學抽象中僅僅保留了事物的量的特性，而完全捨棄了它們的質的內容。

數學抽象的特徵和作用

數學的抽象具有下列三個特徵：

第一，它保留了數量關係或者空間形式。

第二，數學的抽象是經過一系列的階段形成的，它達到的抽象程度大大超過了自然科學中的一般抽象。

從最原始的概念一直到函式、微分、積分、泛函、n維甚至無限維空間等抽象的概念都是從簡單到複雜，從具體到抽象這樣不斷深化的過程。當然，形式是抽象的，但內容卻是非常現實的。

第三，不僅數學的概念是抽象的，而數學方法本身也是抽象的。

在數學裡證明一個定理，必須利用已經學過或者已經證過的概念、定理，用推理的方法匯出這個新定理來。

“圖形化”和“數字化”是抽象法的兩種常用方法，這兩種方法有點類似於數形結合方法，有時以形解數，有時以數解形，往往能夠把問題化繁為簡，化難為易。事實上，尤拉解決哥尼斯堡七橋問題就是應用圖形化方法的典型範例。

正如東北師範大學資深教授 史寧中所說，數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。

數學的四種抽象思維結語

史寧中教授認為抽象主要包括三個層次：簡約階段、符號階段和普適階段。但是，很多教師在教學中直接給學生講授概念、公式、法則、性質等，沒有充分經歷數學概念、命題、原理和思想的抽象過程，這樣做的結果只會導致學生死記硬背、簡單模仿，而沒有真正完成數學化、形式化、抽象概括的過程。

總之，數學的抽象法在數學解題和教學中有著十分重要的意義。同時，在利用數學抽象法解題時，應該注意掌握好簡單化與完善化的分寸，既不能將問題過於簡單化，與實際問題情形有很大的出入，也不能使抽象後的數學問題過於複雜化，以致失去典型性意義。

有些數學抽象，有些數學不抽象。下邊說一個例子，把本不抽象的數學搞抽象了就錯了。

300多年前雅各布.伯努利提出的連續複利法就抽象錯了，現在國內外經濟數學、金融學、貨幣銀行學、工程經濟學、公司理財、衍生工具等都還在講。見下面文章題頭照片，中國知網上可看到。

這個命題厲害了，抽象通俗理解，就是看不見摸不著，沒有具體形象的這麼一個概念。而抽象究竟是什麼呢，大概要從7萬年前說起。根據歷史學家的研究，大約7萬年到3萬年前之間，我們現代人類的祖先在進行一場認知革命，就是人類可以描述抽象的概念了。

認知革命

大多數中學教材的書中是說人類和動物的最大區別是人類可以使用及製造工具，但其實我們也發現好多動物也會使用或者製造工具，而且根據考古研究，大約100萬年前，人類已經有了容量較大的大腦，和鋒利的石器了，但還是一直處於食物鏈弱勢的狀態。直到7萬年前的一個基因突變，使得某種人類可以描述抽象的概念，具體為什麼有這個基因突變，有人說是造物主這時候修改了一下他的程式碼，有人說是外星人協助了他，總之目前沒有一個靠譜的解釋為什麼會有那次基因突變。而基因突變的後果對其他生物及其他古人種來說卻是毀滅性的，很快我們的祖先---智人便席捲了全球，使得很多其他古人種及大型遠古生物滅絕。

目前歷史學家把現代人類的祖先，稱為智人。當時還存在很多人種，比如尼安德特人，魯道夫人，梭羅人，弗洛里斯人等等。正是因為智人的認知革命力量暴增，將其他人種都滅絕了。抽象的作用

為什麼描述抽象概念這個操作能這麼厲害，因為這麼一來，人類就可以講故事，講了故事就更團結。假設我們打獵的時候只能去說肉怎麼分配，那怎麼分都難免會有衝突，有的人會覺得自己出的力多，自己的肉臭掉了等等。 但是我們可以講一些不存在的故事時，就可以說“我們都是龍的傳人，我們都是這個土地之神的子民，我們打獵的目的不是僅僅為了吃，我門是為了我們的守護神"等等。所以為什麼原始人那麼喜歡搞圖騰，就是為了弄些虛構的概念使大家團結起來。只要能團結起來，那力量就大了，大家緊密的分工協作，何愁那麼幾隻老虎獅子。

於是人類就越來越團結，給自己創造共同侍奉的守護神，再將多神論統一成一神論從而進一步的團結，再到人文主義，再產生國家的概念，再到今天的人類命運共同體。這些文化的發展全都源於人類能夠描述抽象。

比如某某公司這種概念，拿阿里舉例，阿里公司是什麼，是杭州那幢樓嗎？那換個辦公室不一樣也是阿里公司，那全體阿里公司員工組成代表了阿里嗎？那員工全都換一遍，阿里還是那個阿里。所以阿里就是個虛構的故事，和以前的部落守護神沒別的區別，就是使得員工們相信他們有一個“公司”能代表他們的利益，從而就會團結起來為了公司奮鬥。

什麼是具象

為什麼我開篇說這個命題厲害了。因為“抽象”本身這個概念就已經是抽象的，或者說是虛構的。這句話一定有點饒，首先我們來講講與抽象對應的”具象“的概念，就是看得見摸得著的東西。那麼我們來討論下，什麼是具象的，我直接把結論說在這裡，按照目前主流物理來推論的話，那具體的東西壓根就不存在。

慢慢說，比如一個船。看得見，摸得著很具體了吧。

但是如果我換了他的一塊甲板呢，它還是原來那艘船嗎，當然還是，那把船上的所有零件全換光呢，好像那艘船也還是那艘船吧。這就是著名的“特修斯之船”悖論。就是這艘名為“特修斯之船”具體究竟是什麼，很顯然，好像和公司一樣也是個抽象的概念。

凡有所相，皆為虛妄

好，那麼有人也許會說，但是我摸得著它呀，說明一定有具體的東西存在吧。比如就是臨時組成這艘船的零件好了，那個是具體的了吧。哦對了，零件也會由它的零件組成。細分下去，物質由原子組成。那個原子再細分下去，一定有那麼一個具體的基本粒子組成了世間萬物。但是相對論告訴我們，能量和質量是能相互轉換的，所以沒有基本粒子，所謂的物質也就是能量的一種表現形式。你之所以能摸到那艘船，是因為你的手與船進行了電磁斥力反應，從而刺激了你的大腦使你感覺你“摸”到了那艘船。實際上，船是一簇能量體，你也使一簇能量體。

好了，能量又是什麼，根據定義：能量是物理學中描寫一個系統或一個過程的一個量。不同的過程對應不同形式的能量，電磁反應就是電磁能，機械過程就是機械能，讓我們的人類感覺器官形成反應造成我們感受到實體存在時，那此時能量就變為了質量，也就是人類眼中的物質。所以發現沒，這一圈下來，全是虛構的。凡有所相，皆為虛妄。

但是！

抽象才是真實

看下面這段文字”今天天氣真好“。 你看到了什麼，一些黑色線條嗎？要不要去研究下黑色線條的組成部分？如果這句話用石墨筆寫在紙上，被一群聰明的螞蟻看到，它們可有可能跟同伴這麼介紹，這是一堆排列有序的石墨液體。甚至有的自以為是的螞蟻研究者研究過後會說，這本質上跟石墨沒什麼區別。可惜它們錯了，資訊載體是什麼並不重要，資訊本身才是重點。用石磨筆寫“今天天氣真好”，與用蘋果汁寫的“今天天氣真好”具備同樣的意義。所以人類在面對自然科學時不要像螞蟻那麼執念於具體的所謂物質，而恰恰就該去尋找抽象的意義。7萬年前的認知革命使我們能成為地球霸主，7萬年後的我們一樣要明白，抽象才是真實。

有些東西你無法想象或者很難想象它具體的樣子。比如二次函式拋物線對稱軸範圍和函式值取值範圍對應的題型，比如有些圖形三檢視

2. 世間萬物都既有質（性質），又有量（大小，數量，形狀），還有變化與聯絡（關係）。所以數學無所不在。科學的一大特點就是定量的結果可重現可驗證。所以任何科學都離不開數學。數學只提取了各門科學中具有共性的數量關係加以研究，所以是高度抽象的。同時正因為它只研究共性，所以它的結論應用範圍十分廣泛。比如振盪電路和彈簧振子一個是電路一個是機械，但數學模型相同都是一階微分方程。運動規律相同。

哈哈！你的問題不少啊！文字就是抽象的！什麼是抽象：事物資訊化，由資訊化作為基礎得出事物形象的唯一，這個過程以及人類的此類意識行為為抽象。

“抽”，從田地範疇內取樣，這個取樣可能是隨機的，也可能是條件的，按照宿命論，那是唯一的。。。

“象”，這裡的象，應當是意識形態中的“相”，是可以沒有具體形狀意識把握的“相”，不過人們已經形成了這種直觀的組合，用大象客觀直接。

抽象要比從集合中隨機取樣，而表達為是的過程。也可以由一種概念提出，在對應的集合中找多用，抽象同時具有邏輯法度以及法度擁有的問題。抽象總體來說表示人類生物邏輯轉換的能力。是大腦內部的法度和自然生動形象的生成具體化。這個“象”具有了意識識別的通俗性生活實踐伴隨的普遍存在了！

抽象具有地球環境；具有人類特徵；既有即時的意識存在，具有昨天的意識能力以及表達的實踐範疇；同時具有明天類似判斷的節約。

抽象的意義在於人類行為，意識行為法度概念的時空效力以及行為空間的節約。

如馬和馬車，再如馬力，再如馬蹄。。。可以說中國文字充滿著抽象！把不同事物歸類儲存。如木頭的木和眼睛的目的意識統一。

不能多說了哈吉祥快樂

抽取某種現象的精華來概括某種事物的本質叫抽象！我其實只是初三學歷，且數理極差那種。意識形態、英雄氣慨、愛國主義，，，，，，等其實也屬於抽象問題。

簡單的說數字1，現實中並沒有這個東西，而它也只能和量對應上，才能和現實對應，比如1個水杯；複雜一點說，一些數學模型，再現實中也沒有具體的表現，只有把現實中的事情模型化，才能夠使用數學模型解決問題。

數學抽象是指從研究的物件或問題中，把大量的關於其空間形式和數量關係的直觀背景材料，透過去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及裡的加工和製作、提煉數學概念、構造數學模型、建立數學理論。

即就是從研究物件或問題中抽取出數量關係或空間形式而捨棄其他的屬性，藉助定義和推理進行邏輯構建的思維過程和方法。

抽象的字面意思是從有不同特性的事物中找出共性，即透過分析，比較，並歸納，找出事物本質上相同或者相似的部分。

抽象若用來形容數學，則可以理解為透過合理與嚴謹的邏輯推理來探索，並由此得出結果的過程。若不涉及極限的初等數學，主要研究的方向是數與數，數與圖形，圖形與圖形之間的變化或者兩者之間的某種隱藏的聯絡，既然是隱藏的聯絡，這就需要一定的抽象思維，即分析，探索，總結，最終得出結論。由給出的論題發掘出更多的條件，這其中會用到觀察法，舉例法，影象法，歸納法，模型法，分析法等等。

即便是從極限的角度研究一元或多元函式的高等數學，也離不開數學抽象思維。高等數學的抽象則表現在高度的概括與總結，例如求函式極限時，對於夾逼準則的理解就需要概括，由特殊到一般，由區域性到整體。還有一元或多元函式的泰勒展開式，我們透過構造一個與原函式的n階導數均相同的多項式，來近似描繪一些抽象函式。事實上，不論是什麼數學，其本質都是透過合理的方法來尋找共性。

為什麼有不少同學認為數學難，因為數學需要的抽象思維會用於探索變化的規律，並總結歸納得出結論。不難發現，雖然數學題目的文字或者型別會變化，但所運用的方法卻變化不大。為什麼一道數學題你做了很久沒有做出來，而擅長數學的人只要幾分鐘就能秒殺呢？其一在於運用合理的方法，其二在於經驗的積累，也可以將其理解為數學抽象思維的培養，一旦具備了這種思維，那麼每個人，至少從解題角度上來說，都會認為數學的實質是不難的。

抽象的是指某種概念而非具體的事物。

幾何中的線段沒有長度，於是它就是一個抽象的概念了。代數中的1,2,3也是抽象的，它反映了一種順序的概念。小學的時候，老師用一個蘋果兩個蘋果來解釋1,2,3這就把這個概念具體化了。

接下來我來說說1,2,3給了我們什麼樣抽象概念。跟幾何一樣，1,2,3並不代表數量，它只是一個序列。這個序列告訴我們除了0以外任意一個數的前面都有一個數，兩個相鄰的數不相等。按照這樣一些抽象的原則，我們可以繼續定義四則運算的規則。自然數體系就是定義出來的。

說起123總讓我想起老子的道生一，一生二，二生三，三生萬物。很多人習慣於用具體的歸納法來思考這句話，給123賦予了各種具體的含義。我更願意從抽象的角度來看這句話，好理解又能代表世間萬物。

老子所說

道可道，非常道。名可名，非常名。

不正是告訴我們什麼是抽象思維嗎？

名可名非常名，就說明了一切名，字，代號，言語，文學藝術，信仰，都是抽象的，不能實用。只有實際行動，實物才能實用。如，饃頭，這兩字能充飢嗎？不能吃的，代號而已。還非得拿到真實的饃頭吃了才能充飢的。紙上談兵也是一樣的道理。只是文章遊戲。

抽象到底是什麼呢？如果形象的，不恰當的比喻：

1.如果您是男士，您心裡的希望的美女的那個“美”，您都描述不來，只能在心裡感覺，“好美好美”，說不上來的“美”就是“抽象”！如果您落在現實中，那“明星”來做對比，美得像劉濤，孫麗，趙雅芝等，這就是具體了，距離您想的那個“美”要差的很遠很遠……

2.如果您是女士，您心裡想的那個“帥哥”的“帥”，帥的難以用語言描述，那就是抽象。解釋同上。

數學是抽象的，就是因為用一種“概念數字”來表述一切。推論一切。是人的思維對世界的認識。而難以具體的表述。比如“1”，1是什麼？只是一個符號，一個數字。您可以說它很小，也可以說它很大。只要不具體到現實，您就可以隨便想……

但這樣說並不是臆想，也不是幻化，而是人對世界認識的表述。是符合自然規律的認識。

“抽象”的意思可以從在字面上理解，“抽”表示抽走，抽取，捨棄的意思，“象”表示事物外在的表象。綜合起來就是抽取掉事物外在的表象。所以數學其實就是透過抽取掉表象從而透過對事物本質屬性的“數”來研究事物之間的內在本質關係的學科

①從許多事物中，捨棄個別的、非本質的屬性，抽出共同的、本質的屬性，叫抽象，是形成概念的必要手段。②不能具體經驗到的；籠統的；空洞的。