（小石頭來嘗試著回答這個問題！）

人類在面對複雜事物時，一般不是（也很難）談論事物的整體，而是抽出事物的某些特徵來評頭論足！對於隨機變數 X 也是如此！數學期望，就是 從 X 中抽出 的 數字特徵 之一。

數學期望可以簡單的理解為：隨機變數的平均值。但要真的說清楚它，我們需要從頭開始：

世界上，有很多可重複的實驗，比如：

擲骰子、拋硬幣、記錄雪花在操場跑道上的落點、...

這些實驗的全部可能結果，實驗前已知，比如：

拋硬幣的結果 = {正，反}、雪花落點 = [0, L] （設，跑道長度 = L，寬度忽略）

但是，實驗的具體結果卻無法預估，這樣的實驗稱為 隨機試驗，實驗結果稱為 樣本，全體可能的實驗結果，稱為 樣本空間，記為 Ω。

樣本空間 Ω 其實就是 普通的 集合，可以是 有限的，如：硬幣兩面，也可以是無限的，如：雪花落點。

我們將 Ω 的子集 A 稱為 事件，如果 隨機試驗的 結果 屬於 A，我們則說 A 發生了，否則說 A 沒有發生。又將，隨機試驗的事件的全體，記為 F。它是以 Ω 的子集和 為元素 的集族（我們習慣稱 以集合為元素的集合 為集族），例如，拋硬幣有：

F = {A₀ = ∅ = { }, A₁ = {正}, A₂ = {反}, A₃ = Ω = {正, 反}}

雖然，我們不能知道 在每次隨機實驗中，每一個事件 A 是否發生，但是，我們可以評估 A 發生的可能性。我們用 0 到 1 的 實數表示 這種可能性，0 表示 A 不會發生，1 表示 A 一定會發生，稱這個數為 A 的 機率。也就是說，對於 F 中的每個事件 A 都有 實數區間 [0, 1] 中的一個數 和 A 對應，這相當於定義了一個 從 F 到 實數區間 [0, 1] 的函式 P: F → [0, 1]，我們稱 P 為 機率測度，對於每個事件 A , P(A) 就是 A 的機率。例如，拋硬幣 的 機率測度 為：

人們透過長期對隨機試驗的觀察，發現機率測度 P 有如下特性：

因為 Ω 包含所有試驗結果，所以 實驗的結果 一定 屬於 Ω，於是每次試驗，Ω 事件 一定發生，即：P(Ω) = 1；

因為 ∅ 不包含任何元素，所以 實驗的結果 一定不屬於 ∅，於是每次試驗，∅ 事件 一定不發生，即：P(∅) = 0；

如果 事件 A 分割為一列子事件 A₁, A₂, ... ，即，A = A₁ ∪ A₂ ∪ ..., A_i ∩ A_j = ∅ (i ≠ j)

則 A 機率 等於 所有 子事件 的 機率 之和，即：P(A₁ ∪ A₂ ∪ ...) = P(A) = P(A₁) + P(A₂) + ...

這稱為 可列可加性。例如，拋硬幣中，有：

P(A₁∪ A₂) = P(A₃) = 1 = 1/2 + 1/2 = P(A₁) + P(A₂)

為了配合，P 的這些特性，F 必須滿足：

事件 Ω 屬於 F；

如果 事件 A 屬於 F，則 A 的補事件，即，A 的補集 Aᶜ = Ω\A 也屬於 F；

由於 ∅ 是 Ω 的補事件，而 Ω ∈ F，所以 ∅ ∈ Ω，這匹配 P 的 特性 2。

如果 事件序列 A₁, A₂, ... 屬於 F，則 這些事件的合併事件 A = A₁∪A₂∪ ... 也屬於 F；

我們稱，滿足 以上條件的 集族 F 為 σ 域，F 中的元素 稱為 可測集 （事件都是可測集），稱 (Ω, F) 為 可測空間，另外，稱 (Ω, F, P) 為 機率測度空間。

我們，將 Ω 的子集合全體稱為 Ω 的冪集，記為 2^Ω，顯然 F ⊆ 2^Ω。一般來說，當 Ω 有限時 F = 2^Ω，例如：拋硬幣，而當 Ω 無限時，則 F ⊂ 2^Ω，例如：雪花落點。

對於實數集 R，包含 R 中全體開區間的，最小的 σ 域，稱為 布萊爾集，記為 Bʀ。此定義可以擴充套件為 R 的任意區間，因此，對於雪花落點，有:

F = Bʟ , (L = [0, L])

兩個 可測空間 (Ω, F) 和 (S, M) 之間的對映 f: Ω → S，如果滿足 條件：

對於任意 B ∈ M，都有 B 的原像集 f⁻¹(B) ∈ F

則稱 f 為 可測對映。

從 (Ω, F) 到 (R, Bʀ) 的可測對映 g: Ω → R，稱為 g 為 可測函式，如果，將 可測空間 (Ω, F) 升級為 機率空間 (Ω, F, P) 則 可測函式 g 就是 隨機變數，記為，X = g。

為什麼要這樣定義隨機變數呢？

對於任意實數 x，考慮 實數區間 (-∞, x]，因為 (x, +∞) 是 R 的開區間，因此 (x, +∞) ∈ Bʀ，而 (-∞, x] 是 (x, +∞) 的補集，所以 (-∞, x] ∈ Bʀ，這樣根據 上面條件，就有：

X⁻¹((-∞, x]) = {ω ∈Ω | X(ω) ≤ x } ∈ F

於是 X⁻¹((-∞, x]) 是 一個事件，記為， X ≤ x， 它的機率就是 P(X ≤ x)。

又因 x 的任意性，於是可以定義 函式：

F(x) = P(X ≤ x)

稱 F 為 隨機變數 X 的 機率分佈函式。機率分佈函式 F 是一個 單調遞增函式，並且有：

如果存在 函式 f(x) 使得：

則稱，f 是 X 的 機率密度函式。

例如，對於 投硬幣，函式 X: Ω = {正，反} → R；正 ↦ 1, 反 ↦ 0，是一個 隨機變數，其機率分佈函式為階梯函式：

其機率密度函式為兩個衝激：

繪製成圖如下：

對於，雪花落點，機率測度可以定義為：

這個種機率測度稱為 勒貝格測度， 函式 X: Ω = [0, 1] → R; x ↦ x，是一個 隨機變數，其機率分佈函式為：

其機率密度函式為：

繪製成圖如下：

關於集合 Ω 中的 任意 事件 A，我們可以定義 A 的指示函式 ：

這樣以來，投硬幣 和 雪花落點 的 隨機變數 分別可以表示為：

X(x) = 1χᴀ₁(x) + 0χᴀ₂(x)

和

X(x) = (1/L)χ_Ω

我們稱，這樣的，可以用 指示函式 表示的 函式，為 簡單函式。

設，機率空間 (Ω, F, P) 上的一個 隨機變數 X 是 簡單函式，即，可表示為：

則，對於任意事件 A ，稱，

為 X 在 A 上的 勒貝格積分。如果 X 不是簡單函式，則定義 勒貝格積分 如下：

當 Ω = R ， P為勒貝格測度 P([a, b]) = P((a, b)) = P((a, b]) = P([a, b)) = b - a，A = [a, b] 時，勒貝格積分 就是 我們熟悉的 黎曼積分，即，

我們稱 隨機變數 X 在 事件 Ω 上的 勒貝格積分 為 X 的 數學期望，記為：

例如，對於 投硬幣 和 雪花落點 隨機變數 X 的數學期望分別是：

E(X) = 1P(ᴀ₁) + 0P(ᴀ₂) = 1/2

和

E(X) = 1/LP(Ω) = 1/L

◆就離散型隨機變數 X 來說， Ω 一定有限，不妨設 Ω = {ω₁, ω₂, ..., ω_n}，於是 X 可表示為：

X = x₁χ_{ω₁} + x₂χ_{ω₂} + ... + x_nχ_{ω_n}

又設，機率測度為 :

P(ωᵢ) = pᵢ

進而，X 的 數學期望為：

E(X) = x₁P({ω₁}) + x₂P({ω₂}) + ... + x_nP({ω_n}) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n = ∑ xᵢpᵢ

這就是 浙大版《機率論與數理統計》中關於離散型隨機變數的數學期望的定義。

◆而對於連續型隨機變數 X，上面的那個 勒貝格積分 的 數學期望的定義，並不好計算，因此我們想辦法將其轉換為 黎曼積分：

首先，設 g: R → R 是 (R, Bʀ) 上的可測函式，考慮 隨機變數 X: Ω → R 和 g 的複合函式 gX: Ω → R， (gX)(x) = g(X(x))，顯然 gX 依然是一個 隨機變數，所以 其 數學期望 E(gX) 存在。

另一方面，觀察 X 的機率分佈函式 F(x) = P(X ≤ x): R → [0, 1] ，令：

F([a, b]) = F((a, b)) = F((a, b]) = F([a, b))) = F(b) - F(a)；

F(I₁ ∪ I₂ U ... ) = F(I₁) + F(I₂) + ... （區間序列 Iᵢ 兩兩不相交）；

則有：

F(R) = F((+∞, +∞)) = P(X ≤ +∞) - P(X ≤ -∞) = P(Ω) - P(∅) = 1；

F(∅) = F([0, 0]) = P(X ≤ 0) - P(X ≤ 0) = 0；

這樣以來，F 滿足機率測度的要求，也可以作為機率測度，於是 可以 將 g 的 定義域 從 可測空間 (R, Bʀ) 提升為 機率空間 (R，Bʀ, F)，從而 g 升級為 隨機變數 ，這樣 就存在 數學期望：

數學家證明了，上面的兩個 數學期望相等，即，

並且，當 f(x) 是 F 的機率密度函式時，有：

再令，g(x) = x，則 gX = X，於是我們最終得到，黎曼積分下的數學期望公式：

這就是，浙大版《機率論與數理統計》中關於連續型隨機變數的 數學期望的定義。

好了，到此我們就算將數學期望的概念徹底搞清楚了：

數學期望就是 隨機變數 X 在 整個樣本空間 Ω 上 關於 機率測度 P 的 勒貝格積分，表徵，隨機變數 X 的平均值！

(最後，小石頭數學水平有限，出錯在所難免，關於各位老師同學批評指正！)

題外話：最近小石頭正在回答一系列關於《範疇論》的問題！由於 ，現實世界中， 計算數學 中 使用 Haskell（OCaml）和 基礎數學 中 學習 代數拓撲（代數幾何）的人並不多， 這導致知道範疇論的劇友更是稀少。再加上悟空對於過期問題又不好好推薦，所以 一系列回答的閱讀量極低！ 這裡打打廣告！

“期望”的定義就是：在機率論和統計學中，一個離散性隨機變數的期望值（或數學期望、或均值，亦簡稱期望，物理學中稱為期待值）是試驗中每次可能的結果乘以其結果機率的總和。換句話說，期望值像是隨機試驗在同樣的機會下重複多次，所有那些可能狀態平均的結果，便基本上等同“期望值”所期望的數。“期望”的定義就是要反映事實，如果不符合，要麼就是期望值的計算方法有問題，要麼就是樣本量不夠大，但是你不能說期望的概念不對