（這是關於《範疇論》一系列回答的第七篇，緊接在問題：”伴隨什麼意思，急急急急急急急呀？“ 之後，小石頭將在本篇中和大家論述伴隨的後續知識。）
先回答題主問題：在數學上，伴隨 就是 兩個 方向相反的 平行 對映之間的 某種關係。例如，伴隨矩陣 A* 和 原矩陣 A，就可以看成 反向相反 的 線性變換，它們之間具有關係：
AA* = A*A = |A|E
我們在上一篇回答裡，引入 的範疇論中的伴隨 就只 對 這種現象的 高度抽象。
在上一個回答中，我們透過 一個泛對映的例項，F: Set ⇄ Mon :U 引入了 伴隨的定義，除了 例項中 i: F ⊣ U 這個 伴隨現象 外，數學中 還有很多 伴隨現象。例如，將 例項中 的 Mon 範疇替換為 Grp 範疇後 同樣還是 伴隨。下面再舉一個例項：
A × B , Ob(A × B) = ObA × ObB, Mor(A × B）= MorA × MorB,
它是 對 整個 範疇 進行笛卡爾積 的結果。
與積範疇不同，現在考慮 範疇 A 內部，如果 A 的物件之間 和 態射之間 本就支援 笛卡爾積，並且 都 對 笛卡爾積 封閉，即，
對於 任意 A₁, A₂ ∈ ObA 定義 ，
A₁ x A₂ = {(a₁, a₂) | a₁ ∈A₁, a₂ ∈ A₂}
都有 A₁ x A₂ ∈ ObA；
對於 任意 f₁, f₂ ∈ MorA, f₁: A₁ → A"₁ , f₂: A₂ → A"₂, 定義，
f₁ x f₂: A₁ x A₂ → A"₁ x A"₂, f₁ x f₂ = (f₁π₁, f₂π₂)
（其中 π₁(a₁, a₂) = a₁, π₁(a₁, a₂) = a₂ 稱為下標函式）
都有 f₁ x f₂ ∈ MorA；
則，我們就可以 將 A 中的 笛卡爾積運算 x 升級為 從 積範疇 A × A 到 範疇 A 的 函子：
x: A × A → A
稱 x 為 乘積函子。
注意：請一定要區分 積範疇 和 乘積函子的像，前者的 物件 和 態射 分別是 (A, B) 和 (f, g)， 後者 物件的像 和 態射的像 分別是 A₁ x A₂ 和 (f₁π₁, f₂π₂) 。
在 積範疇 A × B 中 態射運算 為 (f, g)(a, b) = (f(a), g(b)) 這說明 (f, g) 僅僅是兩個平行函式；而 在 支援笛卡爾積的範疇 A 中，令 (g₁, g₂) = f₁ x f₂，則 (g₁, g₂)(a₁, a₂) = (g₁(a₁, a₂), g₂(a₁, a₂) )，這說明 (g₁, g₂) 是二元向量函式 。
（這是一個坑，容易掉進去。）
反過來，我們還可以另外一個 從 範疇 A 到 積範疇 A × A 的函子：
△: A → A × A, △(A) = (A, A), △(f) = (f, f)
稱 △ 為 三角函子。
然後，我們再定義 自然變換：
η: 1ᴀ → x ∘ △, η(A) = (1ᴀ, 1ᴀ)
因為，對於 A 中任意 物件 A 和 A × A 中的 任意物件 (A₁, A₂) 以及 任意態射，
f : A → A₁ x A₂, f(a) = (f₁(a), f₂(a))
都有 A × A 中唯一態射，
f" : △(A) = (A, A) → A₁ x A₂, f"(a₁, a₂)= (f₁(a₁), f₂(a₂))
使得：
x(f")η(A)(a) = (f₁ x f₂)(1ᴀ, 1ᴀ)(a) = (f₁π₁, f₂π₂)(1ᴀ(a), 1ᴀ(a)) = (f₁π₁, f₂π₂)(a, a) = (f₁π₁(a, a), f₂π₂(a, a)) = (f₁(a), f₂(a)) = f(a)
這樣以來，我們就得到了一個伴隨：
η: △ ⊣ x
回憶泛形式的定義，我們 將 ☆2 和 ☆1 中組成星枝的霍姆集全部反向，其它保持不變，結構圖變為：
如果對於每一個邊緣節點 X 都有一個雙射：
ψx: Hom(X, B) ≅ Hom(F(X), A)
並且，保證 ψ 是自然的，即，對於任意態射 f": X → B，ψ 使得下圖可交換：
這樣的結構，我們稱為，餘泛形式。
類似於泛形式，在餘泛對映中， 必然：存在 A 中 態射 v: F(B) → A ，對於 A 中任意以 A 終端的 態射 f: F(X) → A ，都有 B 中 唯一的態射 f": X → B 滿足：
vF(f") = f
交換圖為：
我們稱 v 為 A 到 F 的 餘泛對映。
可以證明 餘泛形式和餘泛對映的等價性，並且有如下關係：
v = ψʙ(1ʙ) , ψx(f") = vF(f")
這個證明過程，與前面的 泛形式和泛對映的等價性證明 類似，這裡留給大家思考。
用 餘泛對映，可以給出 伴隨的 定義3：
給定 一對反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 自然變換：
ε: FU → 1ʙ
使得對於每個 B ∈ ObB，ε(B): FU(B) → B，都是 B 到 F 的餘泛對映，則稱 F 和 U 伴隨，記為 F ⊣ U: ε。
再回憶，前面的兩種定義，定義1：
η: 1ᴀ → UF
使得對於每個 A ∈ ObA，η(A): A → UF(A)，都是 A 到 U 的泛對映，則稱 F 和 U 伴隨，記為 η: F ⊣ U。
定義2：
給定 一對反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 對於任意 A ∈ ObA，B ∈ ObB 都 存在 雙射：
φᴀ,ʙ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψᴀ,ʙ
並且 φ（ψ）是自然的，則稱 F 和 U 伴隨，記為 F ⊣ U。
三種定義的 交換圖如下：
我們前面已經證明了 泛形式和泛對映的等價性，這就說明 定義1 和 定義2 等價，並且根據 泛形式和泛對映 的關係 有：
η(A) =φᴀ,ʙ(1ғ₍ᴀ₎)
φᴀ,ʙ(g) =U(g)η(A)
又由 餘泛形式和餘泛對映的等價性，知 定義3 和 定義2 等價，並且 根據 泛形式和泛對映 的關係有：
ε(B) = ψᴀ,ʙ(1ᴜ₍ʙ₎)
ψᴀ,ʙ(f) = ε(B)F(f)
綜上，三種定義 等價。我們一般稱 η 為單位，ε 為餘單位。
前例 F: Set ⇄ Mon: U 中，各部分的定義為：
F(f)(x₁x₂...xn) = f(x₁)f(x₂)...f(xn), U(g) = g,
η(A)(x) = x,
φᴀ,ʙ(g)(x) = g(x),
ψᴀ,ʙ(f)(x₁x₂...xn) = f(x₁)f(x₂)...f(xn),
ε(B)(x₁x₂...xn) = x₁x₂...xn,
可以驗證上面的關係：
φᴀ,ʙ(1ғ₍ᴀ₎)(x) = 1ғ₍ᴀ₎(x) = F(1ᴀ)(x) = 1ᴀ(x) = x = η(A)(x)
U(g)η(A)(x) = g(x) = φᴀ,ʙ(g)(x)
ψᴀ,ʙ(1ᴜ₍ʙ₎)(x₁x₂...xn) = ψᴀ,ʙ(U(1ʙ))(x₁x₂...xn) = ψᴀ,ʙ(1ʙ)(x₁x₂...xn) = 1ʙ(x₁)1ʙ(x₂)...1ʙ(an) = x₁x₂...xn = ε(B)(x₁x₂...xn)
ε(B)F(f)(x₁x₂...xn) = ε(B)(f(x₁)f(x₂)...f(xn)) = f(x₁)f(x₂)...f(xn) = ψᴀ,ʙ(f)(x₁x₂...xn)
前例 △: A ⇄ A × A :× 的交換圖如下，
其中，各部分的定義為：
△(g) = (g, g), f₁ × f₂ = (f₁π₁, f₂π₂),
η(A) = (1ᴀ, 1ᴀ)
φᴀ,ʙ(g₁, g₂) = (g₁, g₂)
ψᴀ,ʙ(f₁, f₂) = (f₁, f₂)
ε(A₁, A₂) =(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂)
φᴀ,ʙ(1△₍ᴀ₎) = φᴀ,ʙ(△(1ᴀ)) = φᴀ,ʙ(1ᴀ, 1ᴀ) = (1ᴀ, 1ᴀ) = η(A)
(g₁ × g₂)η(A) = (g₁π₁, g₂π₂)(1ᴀ, 1ᴀ) = (g₁π₁(1ᴀ, 1ᴀ), g₂π₂(1ᴀ, 1ᴀ)) = (g₁1ᴀ, g₂1ᴀ) = (g₁, g₂) = φᴀ,ʙ(g₁, g₂)
ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁᙮ᴀ₂) = ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁ × 1ᴀ₂) = ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂) = (1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂) = ε(A₁, A₂)
ε(A₁, A₂)△(f₁, f₂) =(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂)((f₁, f₂), (f₁, f₂)) =(1ᴀ₁π₁(f₁, f₂), 1ᴀ₂π₂(f₁, f₂)) = (1ᴀ₁f₁, 1ᴀ₂f₂) = (f₁, f₂) = ψᴀ,ʙ(f₁, f₂)
如果 一個範疇中的任意霍姆集最多含有 一個態射，則稱 該範疇 為 前序集範疇，記為 Preoset，並令：
X ≤ Y iff X → Y
我們前面介紹 的 偏序集範疇 Poset，就是一種 Preoset。
設 A 和 B 是兩個 前序集範疇， 給定 伴隨函子 F: A ⇄ B: U，F ⊣ U ，則 對於 任意 A ∈ ObA，B ∈ ObB 有，自然雙射：
Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B))
這說明：
F(A) ≤ B iff A ≤ U(B)
根據 單位定義 η: 1ᴀ → UF ，有 1ᴀ(A) = A → UF(A)，即 A ≤ UF(A)，這說明 A 是 所有滿足 A ≤ U(Y)， Y ∈ ObB 的 U(Y) 中最小的那個；
類似地 根據 餘單位定義 ε: FU → 1ʙ，有 FU(B) → 1ʙ(B) = B， 即， FU(B) ≤ B，這說明 B 是 所有滿足 F(X) ≤ B， X ∈ ObA 的 F(X) 中最大的那個。
我們稱 前序集範疇 之間的 伴隨函子 為 Galois聯絡。
數學中我們經常使用一階邏輯語言來輔助數學公式，一階邏輯語言由：
邏輯值：⊤ 真， ⊥ 假；
一元邏輯運算：¬ 非；
二元邏輯運算： ∧ 與，∨ 或，⇒ 蘊涵，⇔ 等價；
邏輯量詞：∀ 任意，∃ 存在；
這 十個邏輯符號，以及 數值，常量 和 變數 構成。
笛卡爾最先 使用 拉丁文 的 前面 字母 a, b, c, ... 表示 常量，後面 字母 ..., x, y, z 表示變數，這個習慣沿用至今。
如果一個數學公式中的 變數 沒有在 公式前 被 邏輯量詞約束，則稱 該變數 為 自由變數，否則 稱為 約束變數。例如：
u(x): ∃y.x + y = a
公式 u(x) 中，x 為自由變數，y 為約束變數。
我們還知道公式之間可以推導，例如：
v(x): ∃y.x = a - y
則 由 u(x) 可以推出 v(x)，記為 u(x) ⊢ v(x)。
注意： 由於 → 和 ⇒ 分別被用於 表示態射 和 表示蘊涵，因此 在 《遞迴論》 中 用 ⊢ 表示 推出。
設 ẍ = x₁, x₂, ..., xn 是 一組 自由變數，Form(ẍ) 是所有 以 ẍ 為自由變數的 公式的全體，則 以 Form(ẍ) 的 公式為 物件，以 公式之間的推導 ⊢ 為 態射，以推導 的 傳遞性 建立 複合運算，構成一個 前序集範疇，我們任然記為 Form(ẍ)。
為什麼構成 前序集 呢？因為：
對於 Form(ẍ) 中任意 u(ẍ) 到 v(ẍ)，要麼 u(ẍ) ⊢ v(ẍ) ，則 Hom(u(ẍ), v(ẍ)) 中存在一個態射 u(ẍ) → v(ẍ)，要麼 u(ẍ) ⊬ v(ẍ) 則 Hom(u(ẍ), v(ẍ)) 中不存在態射 。
又設 y 是 不同於 ẍ 的另外一個 自由變數，Form(ẍ, y) 是所有 以 ẍ 和 y 為自由變數的 公式的全體，則 Form(ẍ, y) 是另外 一個 前序集範疇，而且有 Form(ẍ) ⊂ Form(ẍ, y)，因為：
對於 任意 u(ẍ) ∈ Form(ẍ) ，有 u(ẍ) = u(ẍ, y) ∈ Form(ẍ, y)，例如，u(x): x = a，u(x, y): x = a，則 u(x) = u(x, y)，由於新增 y 在 公式 x = a 中不出現，所有 公式 x = a 本質並沒有發生改變。
於是，可以定義 含入對映：
∗: Form(ẍ) → Form(ẍ, y), ∗u(ẍ) = u(ẍ)
而又有：
∗u(ẍ) ⊢ ∗v(ẍ) = u(ẍ) ⊢ v(ẍ) = ∗(u(ẍ) ⊢ v(ẍ))
故，∗ 是函子。
受此啟發，我們發現 全稱量詞 ∀ 其實也是一個函子：
∀: Form(ẍ, y) → Form(ẍ) , ∀u(ẍ, y) = u(ẍ): ∀y.u(ẍ, y)
例如，
u(x, y): x + y = a, ∀u(x, y) = u(x): ∀y.x + y = a
由邏輯關係可以證明：
∗u(ẍ) ⊢ v(ẍ, y) iff u(ẍ) ⊢ ∀y.u(ẍ, y)
例如，設 u(x): x = a, v(x, y): x + y = a + y 則
∗u(x) ⊢ v(x, y) iff x = a ⊢ x + y = a + y iff x = a ⊢ ∀y.x + y = a + y iff u(x) ⊢ ∀y.v(x, y)
因此，我們得到一個伴隨：
∗ ⊣ ∀
類似，存在量詞 ∃ 同樣是一個函子：
∃: Form(ẍ, y) → Form(ẍ) , ∀u(ẍ, y) = u(ẍ): ∃y.u(ẍ, y)
可以由邏輯關係證明：
∃y.v(ẍ, y) ⊢ u(ẍ) iff v(ẍ, y) ⊢ ∗u(ẍ)
例如， 設 u(x): x = a, v(x, y): x + y = a + y 則
∃y.v(ẍ, y) ⊢ u(ẍ) iff ∃y.x + y = a + y ⊢ x = a iff x + y = a + y ⊢ x = a iff v(x, y) ⊢ ∗u(x)
因此，我們得到另一個伴隨：
∃ ⊣ ∗
最終，得到：
∃ ⊣ ∗ ⊣ ∀
（這是關於《範疇論》一系列回答的第七篇，緊接在問題：”伴隨什麼意思，急急急急急急急呀？“ 之後，小石頭將在本篇中和大家論述伴隨的後續知識。）
先回答題主問題：在數學上，伴隨 就是 兩個 方向相反的 平行 對映之間的 某種關係。例如，伴隨矩陣 A* 和 原矩陣 A，就可以看成 反向相反 的 線性變換，它們之間具有關係：
AA* = A*A = |A|E
我們在上一篇回答裡，引入 的範疇論中的伴隨 就只 對 這種現象的 高度抽象。
在上一個回答中，我們透過 一個泛對映的例項，F: Set ⇄ Mon :U 引入了 伴隨的定義，除了 例項中 i: F ⊣ U 這個 伴隨現象 外，數學中 還有很多 伴隨現象。例如，將 例項中 的 Mon 範疇替換為 Grp 範疇後 同樣還是 伴隨。下面再舉一個例項：
A × B , Ob(A × B) = ObA × ObB, Mor(A × B）= MorA × MorB,
它是 對 整個 範疇 進行笛卡爾積 的結果。
與積範疇不同，現在考慮 範疇 A 內部，如果 A 的物件之間 和 態射之間 本就支援 笛卡爾積，並且 都 對 笛卡爾積 封閉，即，
對於 任意 A₁, A₂ ∈ ObA 定義 ，
A₁ x A₂ = {(a₁, a₂) | a₁ ∈A₁, a₂ ∈ A₂}
都有 A₁ x A₂ ∈ ObA；
對於 任意 f₁, f₂ ∈ MorA, f₁: A₁ → A"₁ , f₂: A₂ → A"₂, 定義，
f₁ x f₂: A₁ x A₂ → A"₁ x A"₂, f₁ x f₂ = (f₁π₁, f₂π₂)
（其中 π₁(a₁, a₂) = a₁, π₁(a₁, a₂) = a₂ 稱為下標函式）
都有 f₁ x f₂ ∈ MorA；
則，我們就可以 將 A 中的 笛卡爾積運算 x 升級為 從 積範疇 A × A 到 範疇 A 的 函子：
x: A × A → A
稱 x 為 乘積函子。
注意：請一定要區分 積範疇 和 乘積函子的像，前者的 物件 和 態射 分別是 (A, B) 和 (f, g)， 後者 物件的像 和 態射的像 分別是 A₁ x A₂ 和 (f₁π₁, f₂π₂) 。
在 積範疇 A × B 中 態射運算 為 (f, g)(a, b) = (f(a), g(b)) 這說明 (f, g) 僅僅是兩個平行函式；而 在 支援笛卡爾積的範疇 A 中，令 (g₁, g₂) = f₁ x f₂，則 (g₁, g₂)(a₁, a₂) = (g₁(a₁, a₂), g₂(a₁, a₂) )，這說明 (g₁, g₂) 是二元向量函式 。
（這是一個坑，容易掉進去。）
反過來，我們還可以另外一個 從 範疇 A 到 積範疇 A × A 的函子：
△: A → A × A, △(A) = (A, A), △(f) = (f, f)
稱 △ 為 三角函子。
然後，我們再定義 自然變換：
η: 1ᴀ → x ∘ △, η(A) = (1ᴀ, 1ᴀ)
因為，對於 A 中任意 物件 A 和 A × A 中的 任意物件 (A₁, A₂) 以及 任意態射，
f : A → A₁ x A₂, f(a) = (f₁(a), f₂(a))
都有 A × A 中唯一態射，
f" : △(A) = (A, A) → A₁ x A₂, f"(a₁, a₂)= (f₁(a₁), f₂(a₂))
使得：
x(f")η(A)(a) = (f₁ x f₂)(1ᴀ, 1ᴀ)(a) = (f₁π₁, f₂π₂)(1ᴀ(a), 1ᴀ(a)) = (f₁π₁, f₂π₂)(a, a) = (f₁π₁(a, a), f₂π₂(a, a)) = (f₁(a), f₂(a)) = f(a)
這樣以來，我們就得到了一個伴隨：
η: △ ⊣ x
餘泛對映回憶泛形式的定義，我們 將 ☆2 和 ☆1 中組成星枝的霍姆集全部反向，其它保持不變，結構圖變為：
如果對於每一個邊緣節點 X 都有一個雙射：
ψx: Hom(X, B) ≅ Hom(F(X), A)
並且，保證 ψ 是自然的，即，對於任意態射 f": X → B，ψ 使得下圖可交換：
這樣的結構，我們稱為，餘泛形式。
類似於泛形式，在餘泛對映中， 必然：存在 A 中 態射 v: F(B) → A ，對於 A 中任意以 A 終端的 態射 f: F(X) → A ，都有 B 中 唯一的態射 f": X → B 滿足：
vF(f") = f
交換圖為：
我們稱 v 為 A 到 F 的 餘泛對映。
可以證明 餘泛形式和餘泛對映的等價性，並且有如下關係：
v = ψʙ(1ʙ) , ψx(f") = vF(f")
這個證明過程，與前面的 泛形式和泛對映的等價性證明 類似，這裡留給大家思考。
伴隨的完整定義用 餘泛對映，可以給出 伴隨的 定義3：
給定 一對反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 自然變換：
ε: FU → 1ʙ
使得對於每個 B ∈ ObB，ε(B): FU(B) → B，都是 B 到 F 的餘泛對映，則稱 F 和 U 伴隨，記為 F ⊣ U: ε。
再回憶，前面的兩種定義，定義1：
給定 一對反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 自然變換：
η: 1ᴀ → UF
使得對於每個 A ∈ ObA，η(A): A → UF(A)，都是 A 到 U 的泛對映，則稱 F 和 U 伴隨，記為 η: F ⊣ U。
定義2：
給定 一對反向平行的 函子 F: A ⇄ B: U，如果 對於任意 A ∈ ObA，B ∈ ObB 都 存在 雙射：
φᴀ,ʙ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψᴀ,ʙ
並且 φ（ψ）是自然的，則稱 F 和 U 伴隨，記為 F ⊣ U。
三種定義的 交換圖如下：
我們前面已經證明了 泛形式和泛對映的等價性，這就說明 定義1 和 定義2 等價，並且根據 泛形式和泛對映 的關係 有：
η(A) =φᴀ,ʙ(1ғ₍ᴀ₎)
φᴀ,ʙ(g) =U(g)η(A)
又由 餘泛形式和餘泛對映的等價性，知 定義3 和 定義2 等價，並且 根據 泛形式和泛對映 的關係有：
ε(B) = ψᴀ,ʙ(1ᴜ₍ʙ₎)
ψᴀ,ʙ(f) = ε(B)F(f)
綜上，三種定義 等價。我們一般稱 η 為單位，ε 為餘單位。
前例 F: Set ⇄ Mon: U 中，各部分的定義為：
F(f)(x₁x₂...xn) = f(x₁)f(x₂)...f(xn), U(g) = g,
η(A)(x) = x,
φᴀ,ʙ(g)(x) = g(x),
ψᴀ,ʙ(f)(x₁x₂...xn) = f(x₁)f(x₂)...f(xn),
ε(B)(x₁x₂...xn) = x₁x₂...xn,
可以驗證上面的關係：
φᴀ,ʙ(1ғ₍ᴀ₎)(x) = 1ғ₍ᴀ₎(x) = F(1ᴀ)(x) = 1ᴀ(x) = x = η(A)(x)
U(g)η(A)(x) = g(x) = φᴀ,ʙ(g)(x)
ψᴀ,ʙ(1ᴜ₍ʙ₎)(x₁x₂...xn) = ψᴀ,ʙ(U(1ʙ))(x₁x₂...xn) = ψᴀ,ʙ(1ʙ)(x₁x₂...xn) = 1ʙ(x₁)1ʙ(x₂)...1ʙ(an) = x₁x₂...xn = ε(B)(x₁x₂...xn)
ε(B)F(f)(x₁x₂...xn) = ε(B)(f(x₁)f(x₂)...f(xn)) = f(x₁)f(x₂)...f(xn) = ψᴀ,ʙ(f)(x₁x₂...xn)
前例 △: A ⇄ A × A :× 的交換圖如下，
其中，各部分的定義為：
△(g) = (g, g), f₁ × f₂ = (f₁π₁, f₂π₂),
η(A) = (1ᴀ, 1ᴀ)
φᴀ,ʙ(g₁, g₂) = (g₁, g₂)
ψᴀ,ʙ(f₁, f₂) = (f₁, f₂)
ε(A₁, A₂) =(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂)
可以驗證上面的關係：
φᴀ,ʙ(1△₍ᴀ₎) = φᴀ,ʙ(△(1ᴀ)) = φᴀ,ʙ(1ᴀ, 1ᴀ) = (1ᴀ, 1ᴀ) = η(A)
(g₁ × g₂)η(A) = (g₁π₁, g₂π₂)(1ᴀ, 1ᴀ) = (g₁π₁(1ᴀ, 1ᴀ), g₂π₂(1ᴀ, 1ᴀ)) = (g₁1ᴀ, g₂1ᴀ) = (g₁, g₂) = φᴀ,ʙ(g₁, g₂)
ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁᙮ᴀ₂) = ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁ × 1ᴀ₂) = ψᴀ,ʙ(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂) = (1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂) = ε(A₁, A₂)
ε(A₁, A₂)△(f₁, f₂) =(1ᴀ₁π₁, 1ᴀ₂π₂)((f₁, f₂), (f₁, f₂)) =(1ᴀ₁π₁(f₁, f₂), 1ᴀ₂π₂(f₁, f₂)) = (1ᴀ₁f₁, 1ᴀ₂f₂) = (f₁, f₂) = ψᴀ,ʙ(f₁, f₂)
Galois聯絡如果 一個範疇中的任意霍姆集最多含有 一個態射，則稱 該範疇 為 前序集範疇，記為 Preoset，並令：
X ≤ Y iff X → Y
我們前面介紹 的 偏序集範疇 Poset，就是一種 Preoset。
設 A 和 B 是兩個 前序集範疇， 給定 伴隨函子 F: A ⇄ B: U，F ⊣ U ，則 對於 任意 A ∈ ObA，B ∈ ObB 有，自然雙射：
Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B))
這說明：
F(A) ≤ B iff A ≤ U(B)
根據 單位定義 η: 1ᴀ → UF ，有 1ᴀ(A) = A → UF(A)，即 A ≤ UF(A)，這說明 A 是 所有滿足 A ≤ U(Y)， Y ∈ ObB 的 U(Y) 中最小的那個；
類似地 根據 餘單位定義 ε: FU → 1ʙ，有 FU(B) → 1ʙ(B) = B， 即， FU(B) ≤ B，這說明 B 是 所有滿足 F(X) ≤ B， X ∈ ObA 的 F(X) 中最大的那個。
我們稱 前序集範疇 之間的 伴隨函子 為 Galois聯絡。
邏輯量詞數學中我們經常使用一階邏輯語言來輔助數學公式，一階邏輯語言由：
邏輯值：⊤ 真， ⊥ 假；
一元邏輯運算：¬ 非；
二元邏輯運算： ∧ 與，∨ 或，⇒ 蘊涵，⇔ 等價；
邏輯量詞：∀ 任意，∃ 存在；
這 十個邏輯符號，以及 數值，常量 和 變數 構成。
笛卡爾最先 使用 拉丁文 的 前面 字母 a, b, c, ... 表示 常量，後面 字母 ..., x, y, z 表示變數，這個習慣沿用至今。
如果一個數學公式中的 變數 沒有在 公式前 被 邏輯量詞約束，則稱 該變數 為 自由變數，否則 稱為 約束變數。例如：
u(x): ∃y.x + y = a
公式 u(x) 中，x 為自由變數，y 為約束變數。
我們還知道公式之間可以推導，例如：
v(x): ∃y.x = a - y
則 由 u(x) 可以推出 v(x)，記為 u(x) ⊢ v(x)。
注意： 由於 → 和 ⇒ 分別被用於 表示態射 和 表示蘊涵，因此 在 《遞迴論》 中 用 ⊢ 表示 推出。
設 ẍ = x₁, x₂, ..., xn 是 一組 自由變數，Form(ẍ) 是所有 以 ẍ 為自由變數的 公式的全體，則 以 Form(ẍ) 的 公式為 物件，以 公式之間的推導 ⊢ 為 態射，以推導 的 傳遞性 建立 複合運算，構成一個 前序集範疇，我們任然記為 Form(ẍ)。
為什麼構成 前序集 呢？因為：
對於 Form(ẍ) 中任意 u(ẍ) 到 v(ẍ)，要麼 u(ẍ) ⊢ v(ẍ) ，則 Hom(u(ẍ), v(ẍ)) 中存在一個態射 u(ẍ) → v(ẍ)，要麼 u(ẍ) ⊬ v(ẍ) 則 Hom(u(ẍ), v(ẍ)) 中不存在態射 。
又設 y 是 不同於 ẍ 的另外一個 自由變數，Form(ẍ, y) 是所有 以 ẍ 和 y 為自由變數的 公式的全體，則 Form(ẍ, y) 是另外 一個 前序集範疇，而且有 Form(ẍ) ⊂ Form(ẍ, y)，因為：
對於 任意 u(ẍ) ∈ Form(ẍ) ，有 u(ẍ) = u(ẍ, y) ∈ Form(ẍ, y)，例如，u(x): x = a，u(x, y): x = a，則 u(x) = u(x, y)，由於新增 y 在 公式 x = a 中不出現，所有 公式 x = a 本質並沒有發生改變。
於是，可以定義 含入對映：
∗: Form(ẍ) → Form(ẍ, y), ∗u(ẍ) = u(ẍ)
而又有：
∗u(ẍ) ⊢ ∗v(ẍ) = u(ẍ) ⊢ v(ẍ) = ∗(u(ẍ) ⊢ v(ẍ))
故，∗ 是函子。
受此啟發，我們發現 全稱量詞 ∀ 其實也是一個函子：
∀: Form(ẍ, y) → Form(ẍ) , ∀u(ẍ, y) = u(ẍ): ∀y.u(ẍ, y)
例如，
u(x, y): x + y = a, ∀u(x, y) = u(x): ∀y.x + y = a
由邏輯關係可以證明：
∗u(ẍ) ⊢ v(ẍ, y) iff u(ẍ) ⊢ ∀y.u(ẍ, y)
例如，設 u(x): x = a, v(x, y): x + y = a + y 則
∗u(x) ⊢ v(x, y) iff x = a ⊢ x + y = a + y iff x = a ⊢ ∀y.x + y = a + y iff u(x) ⊢ ∀y.v(x, y)
因此，我們得到一個伴隨：
∗ ⊣ ∀
類似，存在量詞 ∃ 同樣是一個函子：
∃: Form(ẍ, y) → Form(ẍ) , ∀u(ẍ, y) = u(ẍ): ∃y.u(ẍ, y)
可以由邏輯關係證明：
∃y.v(ẍ, y) ⊢ u(ẍ) iff v(ẍ, y) ⊢ ∗u(ẍ)
例如， 設 u(x): x = a, v(x, y): x + y = a + y 則
∃y.v(ẍ, y) ⊢ u(ẍ) iff ∃y.x + y = a + y ⊢ x = a iff x + y = a + y ⊢ x = a iff v(x, y) ⊢ ∗u(x)
因此，我們得到另一個伴隨：
∃ ⊣ ∗
最終，得到：
∃ ⊣ ∗ ⊣ ∀