在引入單子概念之前，我們先做一些準備。
首先，讓我們複習一下以前介紹過的各種複合操作：
態射 f: A → B, g: B → C 的複合還是態射：
gf: A → C
具體定義由各個範疇結合態射的定義給出；
函子 F: A → B, G: B → C 的複合還是函子：
GF: A → C
定義為：
GF(f) = G(F(f)), GF(A) = G(F(A))
自然變換 α: F → G, β: G → U （F, G, U: A → B, α, β: ObA → MorB） 的複合還是自然變換：
β∘α: F → U（β∘α: ObA → MorB）
β∘α(A) = β(A)α(A)
考慮到，自然變換複合定義的特殊性，尤其是與其他複合聯用時，我們一般不省略 自然變換 之間的 複合 符號。
自然變換 α: F → G（F, G: A → B，α: ObA → MorB）與 函子 U: B → C 的複合是自然變換：
Uα: UF → UG（Uα: ObA → MorC）
Uα(A) = U(α(A))
函子 F: A → B 與 自然自然變換 α: G → U（G, U: B → C，α: ObB → MorC） 的複合是自然變換：
αF: GF → UF（αF: ObA → MorC）
αF(A) = α(F(A))
自然變換 α: F → G, β: U → V （F, G: A → B, α: ObA → MorB, U, V: B → C, β: ObA → MorB） 的星乘還是自然變換：
β∗α: UF → VG（β∗α: ObA → MorC）
β∗α = βG∘Uα = Vα∘βF
Uα: UF → UG, βG: UG → VG, βG∘Uα: UF → VG; βF: UF → VF, Vα: VF → VG, Vα∘βF: UF → VG.
然後，對於平行反向函子 F: A ⇄ B: U，回憶，伴隨 F ⊣ B 的前3種定義：
自然變換 η: 1ᴀ → UF（稱為 單位），對於每個 A ∈ObA， η(A) 都是 A 到 U 的 泛對映；
如果 對於任意 A ∈ObA, B ∈ObB，都存在 自然雙射 φ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψ (稱為 附屬形式)；
自然變換 ε: FU → 1ʙ （稱為 餘單位），對於每個 B ∈ObB， ε(B) 都是 B 到 F 的 餘泛對映；
以及， 第 1，3 種定義 分別 和 第2種定義 之間的關係：
η(A) = φ(1ғ₍ᴀ₎) ，f = φ(g) = U(g)η(A)；
ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)，g = ψ(f) = ε(B)F(f)；
接下來，我們研究 第 1，3 種定義 之間的關係。
根據 A 的任意性，可令，
A = U(B)
則，F(A) = FU(B)。又，令，
f = 1ᴜ₍ʙ₎
則，
g = ψ(f) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)
再根據前面的關係：ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎) 有，
g = ε(B)
將以上結果，帶入前面的關係：f = φ(g) = U(g)η(A) 得到 ①：
1ᴜ₍ʙ₎ = f = φ(g) = U(ε(B))η(U(B))
即，
1ᴜ = Uε∘ηU
同理，令 B = F(A)，g = 1ғ₍ᴀ₎，根據前面的關係，最終，可得到 ②：
1ғ = εF∘Fη
結果 ① 和 ② 就是 第 1，3 種定義 之間的關係，繪製成交換圖如下：
我們，稱 ① 和 ② 為三角恆等式。
三角恆等式 可以作為，伴隨的第 4 種定義的條件，即，
對於平行反向函子 F: A ⇄ B: U，如果，存在自然變換 η: 1ᴀ → UF 和 ε: FU → 1B 並且滿足 三角恆等式，則 F 和 U 伴隨。
上面已經從 前 3 種定義 推出了 定義4，現在只要從 定義4 推匯出 定義2，就可以 證明 這些定義的 等價性了。我們，令：
φ(g: F(A)→B ) = U(g)η(A)；
ψ(f: A → U(B) ) = ε(B)F(f)；
則有，
φ(ψ(f)) = φ(ε(B)F(f)) = U(ε(B)F(f))η(A) = U(ε(B)) U(F(f))η(A) ∵ η 的自然性
∴ = U(ε(B)) η(U(B)) f ∵ 三角恆等式 ①
∴ = 1ᴜ₍ʙ₎ f = f
ψ(φ(g)) = ψ(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)) F(η(A)) ∵ ε 的自然性
∴ = gε(F(A)) F(η(A)) ∵ 三角恆等式 ②
∴ = g 1ғ₍ᴀ₎ = g
於是，就是證明了 φ 和 ψ 是互逆的雙射。關於φ 和 ψ 的自然性 也很容易驗證（留給大家思考），這樣以來我們就推出了定義2。
有了以上準備，接下來我們開始引入單子的概念。
在上面的伴隨中，我們以 範疇 A 為焦點， 如果，令 T = UF：A → A，1 = 1ᴀ ，則 伴隨的單位，可記為：
η: 1 → T
再考慮 餘單位 ε: FU → 1ʙ，我們分別在ε左右複合U和F，可得到：
UεF: UFUF → U1ʙF
而，
UFUF = TT = T² , U1ʙF = UF，
於是，令 μ = UεF，則有 自然變換：
μ: T² → T
令 B = F(A) 為引數，帶入 三角恆等 1ᴜ₍ʙ₎ = Uε(B)∘ηU(B) 得到：
1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘ηUF(A)
1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘ηT(A)
1 = μ∘ηT
對 三角很等式 1ғ₍ᴀ₎ = εF(A)∘Fη(A) 兩邊應用 函子 U，有：
U(1ғ₍ᴀ₎) = U(εF(A)∘Fη(A))
由於，函子將么態射對映到么態射，所以，
等式左邊 = 1ᴜғ₍ᴀ₎
根據，函子的保持複合性，知 ，
等式右邊 = UεF(A)∘UFη(A)
等式兩邊關聯的就得到：
1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘UFη(A)
1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘Tη(A)
1 = μ∘Tη
將上面的得到的結果繪製成交換圖Ⅰ，如下 ：
另一方面，考慮 B 中的 任意 態射 f: X → Y, 根據 自然變換 ε: FU → 1ʙ 的自然性，有如下交換圖：
令，X = FU(Y)，則有：
這時我們發現 f, ε(Y) 同時屬於 Hom(FU(Y), Y)，於是 可以令 f = ε(Y)，則有：
又令，Y = F(A)，則有：
再對上圖應用 函子 U ，將其從範疇 B 對映 到 範疇 A，有：
將 圖中 表示式 改寫成 T 和 μ 和形式， 最後 得到 如下交換圖Ⅱ：
對應關係式為：
μ∘μT = μ∘Tμ
綜上，我們就從 伴隨函子 F: A ⇄ B: U 得到了：
定義在 範疇 A 上的 函子 T: A → A ，以及兩個 使得 圖 Ⅰ 和 Ⅱ 可交換 的 自然變換 η: 1 → T 和 μ: T² → T ，我們 稱 T（以及 η 和 μ） 為 單子。
以上，是從 伴隨 F: A ⇄ B: U 得到了 A 上的 單子 T，反過來 從 單子 T: A → A 也可以 構造 伴隨 F: A ⇄ B: U，這件事 最早 是 由 Eilenberg 和 Moore 透過構造 Eilenberg-Moore 範疇，來實現的。
關於 範疇 A 的 Eilenberg-Moore 範疇，記為： Aᵀ。
Aᵀ 物件 是 由 A 中任意物件 A 和 對映 h: T(A) → A 組成的 序對 (A, h)，並且要求滿足條件：
1ᴀ = h∘η(A)
h∘μ(A) = h∘T(h)
即，使得下二圖可交換：
我們稱 (A, h) 為 T-代數，A 稱為 代數的 底物件，h 稱為 代數的 構造對映，條件1（上面左圖）稱為 代數的 單位律，條件2（上面右圖）稱為 代數的 結合律。
Aᵀ 中的態射 與 A 保持一致，即 ㈠，
f: (A, h) → (A", h") 當且僅當 f: A → A"
進而 A 中的 態射的 複合 也就 無縫遷移到了 Aᵀ。
由 T-代數 組成 的 範疇 Aᵀ ，就是 我們要構造 的 伴隨 F: A ⇄ B: U 中的 B。
函子 U: Aᵀ → A 很自然的可以定義為：
U(A, h) = A, U(f) = f
接著，觀察 單子 的 換圖 Ⅰ和 Ⅱ 中的關係式：
1(A) = μ(A)∘ηT(A)
μ(A)∘μT(A) = μ(A)∘Tμ(A)
如果 令, h = μ(A)，Ã = T(A)，則改寫為：
1ᴀ = h∘η(Ã)
h∘μ(Ã) = h∘T(h)
剛好滿足 T-代數 的 單位律 和 結合律，於是 (Ã, h) 是 Aᵀ 的物件，所以 我們可以定義 函子 F: A → Aᵀ 為：
F(A) = (T(A), μ(A)), F(f) = T(f)
顯然，有：
UF(A) = U(T(A), μ(A)) = T(A)
UF = T
於是，η 可記為：
η: 1ᴀ → UF
再考慮，自然變換 ε: FU → 1ᴀᵀ，有：
ε(A, h): FU(A, h) → (A, h)
因為 FU(A, h) = F(A) = (T(A), μ(A)) ，所以：
ε(A, h): (T(A), μ(A)) → (A, h)
又根據 上面 ㈠ 處 Aᵀ 的規定，有：
ε(A, h): T(A) → A
而，恰恰有：
h: T(A) → A
所以，我們可以定義 ε 如下：
ε(A, h) = h
到此為止我們就定義出來了 函子 F :A ⇄ Aᵀ : U 和 自然變換 η: 1ᴀ → UF 與 ε: FU → 1ᴀᵀ，根據這些定義，對於 任意 A ∈ ObA， 結合 單子的圖Ⅰ互動性， 有：
εF(A)∘Fη(A) = ε(T(A), μ(A))∘F(η(A)) = μ(A)∘Tη(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎ = 1ᴜ₍ғ₍ᴀ₎₎ = U(1ғ₍ᴀ₎) = 1ғ₍ᴀ₎
對於 任意 (A, h) ∈ ObAᵀ ，應用 T-代數 的 單位律，有：
Uε(A, h)∘ηU(A, h) = U(h)∘η(A) = h∘η(A) = 1ᴀ = U(1ᴀ) = 1ᴜ₍ᴀ₎
這樣就驗證了 “三角恆等式” 成立 ，故，F 和 U 就是 我們要構造的 伴隨。
最後，我們舉一個單子的實際例子，以加深對其的理解。
回憶前面的 偏序範疇 Poset，其態射 就是 偏序關係：
A → B iff A ≤ B
態射的複合，就是 偏序的傳遞性：
A ≤ B ∘ B ≤ C = A ≤ C
設，T: Poset → Poset 是 Poset 上的 單子 ，則，首先 T 是函子，於是有：
T(A ≤ B) = T(A) ≤ T(B)
故，T 是單調遞增的。
要使得 η: 1 → T 存在，則，
η(A): A ≤ T(A)
就必須存在，故，顯然 T 是 上升的。
要使得 μ: T² → T，存在，則，
μ(A): T²(A) ≤ T(A)
就必須存在，而，又有：
T(A ≤ T(A)) = T(A) ≤ T²(A)
故，只能是：
T²(A) = T(A)
當然，也是，
T(A) = T²(A) = T³(A) = ...
我們，稱 這樣的 T 為 閉包，一般記為 Ā = T(A)。
可以驗證，閉包 滿足 單子的要求：
μ(A)∘ηT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =
μ(A)∘Tη(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A ≤ T(A)) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =
T²(A) ≤ T²(A) = T(A) ≤ T(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎
μ(A)∘μT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T³(A) ≤ T²(A) = μ(A)∘Tμ(A)
故，閉包的確是單子。
在引入單子概念之前，我們先做一些準備。
首先，讓我們複習一下以前介紹過的各種複合操作：
態射 f: A → B, g: B → C 的複合還是態射：
gf: A → C
具體定義由各個範疇結合態射的定義給出；
函子 F: A → B, G: B → C 的複合還是函子：
GF: A → C
定義為：
GF(f) = G(F(f)), GF(A) = G(F(A))
自然變換 α: F → G, β: G → U （F, G, U: A → B, α, β: ObA → MorB） 的複合還是自然變換：
β∘α: F → U（β∘α: ObA → MorB）
定義為：
β∘α(A) = β(A)α(A)
考慮到，自然變換複合定義的特殊性，尤其是與其他複合聯用時，我們一般不省略 自然變換 之間的 複合 符號。
自然變換 α: F → G（F, G: A → B，α: ObA → MorB）與 函子 U: B → C 的複合是自然變換：
Uα: UF → UG（Uα: ObA → MorC）
定義為：
Uα(A) = U(α(A))
函子 F: A → B 與 自然自然變換 α: G → U（G, U: B → C，α: ObB → MorC） 的複合是自然變換：
αF: GF → UF（αF: ObA → MorC）
定義為：
αF(A) = α(F(A))
自然變換 α: F → G, β: U → V （F, G: A → B, α: ObA → MorB, U, V: B → C, β: ObA → MorB） 的星乘還是自然變換：
β∗α: UF → VG（β∗α: ObA → MorC）
定義為：
β∗α = βG∘Uα = Vα∘βF
Uα: UF → UG, βG: UG → VG, βG∘Uα: UF → VG; βF: UF → VF, Vα: VF → VG, Vα∘βF: UF → VG.
然後，對於平行反向函子 F: A ⇄ B: U，回憶，伴隨 F ⊣ B 的前3種定義：
自然變換 η: 1ᴀ → UF（稱為 單位），對於每個 A ∈ObA， η(A) 都是 A 到 U 的 泛對映；
如果 對於任意 A ∈ObA, B ∈ObB，都存在 自然雙射 φ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψ (稱為 附屬形式)；
自然變換 ε: FU → 1ʙ （稱為 餘單位），對於每個 B ∈ObB， ε(B) 都是 B 到 F 的 餘泛對映；
以及， 第 1，3 種定義 分別 和 第2種定義 之間的關係：
η(A) = φ(1ғ₍ᴀ₎) ，f = φ(g) = U(g)η(A)；
ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)，g = ψ(f) = ε(B)F(f)；
接下來，我們研究 第 1，3 種定義 之間的關係。
根據 A 的任意性，可令，
A = U(B)
則，F(A) = FU(B)。又，令，
f = 1ᴜ₍ʙ₎
則，
g = ψ(f) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)
再根據前面的關係：ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎) 有，
g = ε(B)
將以上結果，帶入前面的關係：f = φ(g) = U(g)η(A) 得到 ①：
1ᴜ₍ʙ₎ = f = φ(g) = U(ε(B))η(U(B))
即，
1ᴜ = Uε∘ηU
同理，令 B = F(A)，g = 1ғ₍ᴀ₎，根據前面的關係，最終，可得到 ②：
1ғ = εF∘Fη
結果 ① 和 ② 就是 第 1，3 種定義 之間的關係，繪製成交換圖如下：
我們，稱 ① 和 ② 為三角恆等式。
三角恆等式 可以作為，伴隨的第 4 種定義的條件，即，
對於平行反向函子 F: A ⇄ B: U，如果，存在自然變換 η: 1ᴀ → UF 和 ε: FU → 1B 並且滿足 三角恆等式，則 F 和 U 伴隨。
上面已經從 前 3 種定義 推出了 定義4，現在只要從 定義4 推匯出 定義2，就可以 證明 這些定義的 等價性了。我們，令：
φ(g: F(A)→B ) = U(g)η(A)；
ψ(f: A → U(B) ) = ε(B)F(f)；
則有，
φ(ψ(f)) = φ(ε(B)F(f)) = U(ε(B)F(f))η(A) = U(ε(B)) U(F(f))η(A) ∵ η 的自然性
∴ = U(ε(B)) η(U(B)) f ∵ 三角恆等式 ①
∴ = 1ᴜ₍ʙ₎ f = f
ψ(φ(g)) = ψ(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)) F(η(A)) ∵ ε 的自然性
∴ = gε(F(A)) F(η(A)) ∵ 三角恆等式 ②
∴ = g 1ғ₍ᴀ₎ = g
於是，就是證明了 φ 和 ψ 是互逆的雙射。關於φ 和 ψ 的自然性 也很容易驗證（留給大家思考），這樣以來我們就推出了定義2。
有了以上準備，接下來我們開始引入單子的概念。
單子在上面的伴隨中，我們以 範疇 A 為焦點， 如果，令 T = UF：A → A，1 = 1ᴀ ，則 伴隨的單位，可記為：
η: 1 → T
再考慮 餘單位 ε: FU → 1ʙ，我們分別在ε左右複合U和F，可得到：
UεF: UFUF → U1ʙF
而，
UFUF = TT = T² , U1ʙF = UF，
於是，令 μ = UεF，則有 自然變換：
μ: T² → T
令 B = F(A) 為引數，帶入 三角恆等 1ᴜ₍ʙ₎ = Uε(B)∘ηU(B) 得到：
1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘ηUF(A)
1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘ηT(A)
即，
1 = μ∘ηT
對 三角很等式 1ғ₍ᴀ₎ = εF(A)∘Fη(A) 兩邊應用 函子 U，有：
U(1ғ₍ᴀ₎) = U(εF(A)∘Fη(A))
由於，函子將么態射對映到么態射，所以，
等式左邊 = 1ᴜғ₍ᴀ₎
根據，函子的保持複合性，知 ，
等式右邊 = UεF(A)∘UFη(A)
等式兩邊關聯的就得到：
1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘UFη(A)
1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘Tη(A)
即，
1 = μ∘Tη
將上面的得到的結果繪製成交換圖Ⅰ，如下 ：
另一方面，考慮 B 中的 任意 態射 f: X → Y, 根據 自然變換 ε: FU → 1ʙ 的自然性，有如下交換圖：
令，X = FU(Y)，則有：
這時我們發現 f, ε(Y) 同時屬於 Hom(FU(Y), Y)，於是 可以令 f = ε(Y)，則有：
又令，Y = F(A)，則有：
再對上圖應用 函子 U ，將其從範疇 B 對映 到 範疇 A，有：
將 圖中 表示式 改寫成 T 和 μ 和形式， 最後 得到 如下交換圖Ⅱ：
對應關係式為：
μ∘μT = μ∘Tμ
綜上，我們就從 伴隨函子 F: A ⇄ B: U 得到了：
定義在 範疇 A 上的 函子 T: A → A ，以及兩個 使得 圖 Ⅰ 和 Ⅱ 可交換 的 自然變換 η: 1 → T 和 μ: T² → T ，我們 稱 T（以及 η 和 μ） 為 單子。
Eilenberg-Moore 範疇以上，是從 伴隨 F: A ⇄ B: U 得到了 A 上的 單子 T，反過來 從 單子 T: A → A 也可以 構造 伴隨 F: A ⇄ B: U，這件事 最早 是 由 Eilenberg 和 Moore 透過構造 Eilenberg-Moore 範疇，來實現的。
關於 範疇 A 的 Eilenberg-Moore 範疇，記為： Aᵀ。
Aᵀ 物件 是 由 A 中任意物件 A 和 對映 h: T(A) → A 組成的 序對 (A, h)，並且要求滿足條件：
1ᴀ = h∘η(A)
h∘μ(A) = h∘T(h)
即，使得下二圖可交換：
我們稱 (A, h) 為 T-代數，A 稱為 代數的 底物件，h 稱為 代數的 構造對映，條件1（上面左圖）稱為 代數的 單位律，條件2（上面右圖）稱為 代數的 結合律。
Aᵀ 中的態射 與 A 保持一致，即 ㈠，
f: (A, h) → (A", h") 當且僅當 f: A → A"
進而 A 中的 態射的 複合 也就 無縫遷移到了 Aᵀ。
由 T-代數 組成 的 範疇 Aᵀ ，就是 我們要構造 的 伴隨 F: A ⇄ B: U 中的 B。
函子 U: Aᵀ → A 很自然的可以定義為：
U(A, h) = A, U(f) = f
接著，觀察 單子 的 換圖 Ⅰ和 Ⅱ 中的關係式：
1(A) = μ(A)∘ηT(A)
μ(A)∘μT(A) = μ(A)∘Tμ(A)
如果 令, h = μ(A)，Ã = T(A)，則改寫為：
1ᴀ = h∘η(Ã)
h∘μ(Ã) = h∘T(h)
剛好滿足 T-代數 的 單位律 和 結合律，於是 (Ã, h) 是 Aᵀ 的物件，所以 我們可以定義 函子 F: A → Aᵀ 為：
F(A) = (T(A), μ(A)), F(f) = T(f)
顯然，有：
UF(A) = U(T(A), μ(A)) = T(A)
即，
UF = T
於是，η 可記為：
η: 1ᴀ → UF
再考慮，自然變換 ε: FU → 1ᴀᵀ，有：
ε(A, h): FU(A, h) → (A, h)
因為 FU(A, h) = F(A) = (T(A), μ(A)) ，所以：
ε(A, h): (T(A), μ(A)) → (A, h)
又根據 上面 ㈠ 處 Aᵀ 的規定，有：
ε(A, h): T(A) → A
而，恰恰有：
h: T(A) → A
所以，我們可以定義 ε 如下：
ε(A, h) = h
到此為止我們就定義出來了 函子 F :A ⇄ Aᵀ : U 和 自然變換 η: 1ᴀ → UF 與 ε: FU → 1ᴀᵀ，根據這些定義，對於 任意 A ∈ ObA， 結合 單子的圖Ⅰ互動性， 有：
εF(A)∘Fη(A) = ε(T(A), μ(A))∘F(η(A)) = μ(A)∘Tη(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎ = 1ᴜ₍ғ₍ᴀ₎₎ = U(1ғ₍ᴀ₎) = 1ғ₍ᴀ₎
對於 任意 (A, h) ∈ ObAᵀ ，應用 T-代數 的 單位律，有：
Uε(A, h)∘ηU(A, h) = U(h)∘η(A) = h∘η(A) = 1ᴀ = U(1ᴀ) = 1ᴜ₍ᴀ₎
這樣就驗證了 “三角恆等式” 成立 ，故，F 和 U 就是 我們要構造的 伴隨。
閉包最後，我們舉一個單子的實際例子，以加深對其的理解。
回憶前面的 偏序範疇 Poset，其態射 就是 偏序關係：
A → B iff A ≤ B
態射的複合，就是 偏序的傳遞性：
A ≤ B ∘ B ≤ C = A ≤ C
設，T: Poset → Poset 是 Poset 上的 單子 ，則，首先 T 是函子，於是有：
T(A ≤ B) = T(A) ≤ T(B)
故，T 是單調遞增的。
要使得 η: 1 → T 存在，則，
η(A): A ≤ T(A)
就必須存在，故，顯然 T 是 上升的。
要使得 μ: T² → T，存在，則，
μ(A): T²(A) ≤ T(A)
就必須存在，而，又有：
T(A ≤ T(A)) = T(A) ≤ T²(A)
故，只能是：
T²(A) = T(A)
當然，也是，
T(A) = T²(A) = T³(A) = ...
我們，稱 這樣的 T 為 閉包，一般記為 Ā = T(A)。
可以驗證，閉包 滿足 單子的要求：
μ(A)∘ηT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =
μ(A)∘Tη(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A ≤ T(A)) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =
T²(A) ≤ T²(A) = T(A) ≤ T(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎
μ(A)∘μT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T³(A) ≤ T²(A) = μ(A)∘Tμ(A)
故，閉包的確是單子。