（小石頭來嘗試著回答這個問題！）
關於曲率概念的簡要發展歷史：
早期曲率的概念是伴隨著《微積分》一起出現地，它是對於曲線而言的，也是構成經典微分幾何中《曲線論》的基石之一；
之後，以高斯為主的數學家將 曲線的曲率 引入到曲面中，得到了：法曲率、側地曲率、高斯曲率 等概念，同時也促成了《曲面論》的誕生；
再之後，黎曼將 高斯曲率 等概念 推廣到 任意維度的流形中 以 構建《黎曼幾何》，從而開啟了現代微分幾何的大門。
基於《解析幾何》的知識，我們知道，三維空間 R³ 的空間曲線，可寫成如下引數形式（t ∈ R）：
為了方便，仿照空間向量 r = (x, y, z)，我們將 曲線的引數方程，改寫為：
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
這樣，就得到 一個函式 r: R → R³，稱這種函式為 向量函式。
向量函式 除了自然具有 向量的加法、數乘、模（範數） 等運算 外，我們還定義 微積分運算 如下：
r"(t) = (x"(t), y"(t), z"(t))
∫ r(t) dt = (∫ x(t) dt, ∫ y(t) dt, ∫ z(t) dt)
由《高等數學》的微分知識，我們知道，曲線 r(t) 的導數 r"(t) 為 曲線 在 t 點處的 切線，再根據曲線積分，可得到 曲線弧長函式：
利用弧長函式，曲線從 a 到 b 的 弧長為：s(b) - s(a)。
如果，曲線引數 t 的選取，使得：
|r‘(t)| = 1
則，曲線的弧長函式變為：
s = ∫ 1dt = t
這時，曲線就是以 弧長作為引數，即，
r(t) = r(s)
我們稱這種 弧長引數 為 自然引數。
因為 |r"(s)| = 1，所以，在自然引數下，曲線 r(s) 的切向 r’(s) 為 單位向量，稱為 切向量，記為 α = r’(s)。
由於， α 是單位向量，所以 α 只指示曲線方向，進而 其導數 α" 自然就是 曲線的方向的變化，令，
κ = |α"| , β = α / κ
則，β 表示 曲線方向變化的方向，κ 就是曲線方向的變化率，稱 κ 為 曲率。
曲率 κ(s) 表徵曲線 在每個 s 點的彎曲程度，有，
κ(s) = 0 ，曲線為直線；
κ(s) = 非零常數，曲線為位於球面上；
注：除了曲率外，決定曲線形狀的另外一個因素 是 撓率。撓率為 0 的 曲線在 一個平面內，這時 如果 曲率為非零常數，則 曲線是一個圓。
關於 撓率的 詳細介紹 可參考 我回答的 另一個問題：撓率描述的是空間曲線的什麼？
注：α 不指示曲線長度隨著 引數 s 的變化快慢。曲線長度的變化率 |r’(t)|，不影響曲線的形狀，它只是表徵 引數 t 在曲線內部行走的速度，當 t = s 時，就表明 t 在 做 速度 = 1 的勻速直線（t 在 曲線內部認為自己走的是直線）運動。
對於任意向量函式 a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)) 和 b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)) 有，
(a ⋅ b)" = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)‘ = a₁"b₁ + a₁b₁" + a₂"b₂ + a₂b₂" + a₃"b₃ + a₃b₃" = (a₁"b₁ + a₂"b₂ + a₃"b₃ ) + (a₁b₁" + a₂b₂" + a₃b₃") = a" ⋅ b + a ⋅ b"
再根據 向量內積的性質：
|a|² = a ⋅ a
對等式兩邊求導，有：
2|a|" = (|a|²)’ = (a ⋅ a)" = a" ⋅ a + a ⋅ a" = 2 a ⋅ a"
得到：
|a|" = a ⋅ a"
使用上面的結論，有：
α ⋅ α" = |α|" = |r"(s)|" = 1" = 0
而我們知道：
內積為 0 的 兩個非零向量一定相互垂直
因為 a ⋅ b = |a||b| cos ∠ a b ，當 a ⊥ b 時 ∠ a b = π/2 + kπ ，於是 a ⋅ b = |a||b| cos(π/2 + kπ) = 0。
因此，得到：
α" ⊥ α，即，β ⊥ α
這說明，曲率方向一定垂直於 切線方向，於是 稱 β 為 主法向量。
利用上面的曲線曲率概念，僅使用 高中所學的《解析幾何》的知識，我們可以有如下的一系列關於曲面的定義：
與 曲面 S 有且僅有一點 p 重合的平面 T 稱為 切面，p 稱為 切點；
過切點 p 垂直於 切面 T 的直線 n，稱為 法線；
以法線為軸 的 任意平面 N，都稱為 一個 法截面；
法截面 N 和 曲面 S 的交線 m 稱為 法截線；
將 法截線 m 的 曲率 稱為 曲面 S 在 p 點 處 沿著 法截面 N 方向 的 主曲率，記為 κ_n。
由圖可知，主曲率 κ_n 描述了 曲面在 p 點 這個位置，法截面 N 這個方向 的 彎曲程度，不同的位置和方向，曲面的彎曲程度往往不同。
誠然，上面的這些定義非常的粗糙，要搞清楚 法曲率 的性質，我們需要進一步分析。
仿照 上面 曲線的做法，我們可以將 曲面的引數方程（u, v ∈ R）：
改寫為，二元向量函式 r: R² → R³，
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
這樣以來，曲面 r (u, v) 就將 UV 平面 R² 中的點 (u, v) 對映為 XYZ 三維空間 R³ 中的點 r(u, v) = (x, y, z) ，同時 也將 任意 平面曲線：
w = (u(t), v(t))
對映為 空間曲線：
r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))，
而且，這些空間曲線 r(t) 都有位於 曲面 r(u, v) 上。
和前面的 向量函式的導數運算類似，可以定義 二元向量函式的 偏導運算：
rᵤ(u, v) = (xᵤ(u, v), yᵤ(u, v), zᵤ(u, v))
rᵥ(u, v) = (xᵥ(u, v), yᵥ(u, v), zᵥ(u, v))
再根據，《高等數學》中的 二元函式鏈式求導法則：
f"(u, v) = fᵤ u" + fᵥ v"
有，
r’(t) = r"(u, v) = (x"(u, v), y"(u, v), z"(u, v)) = (xᵤu" + xᵥv", yᵤu" + yᵥv", zᵤu" + zᵥv") = (xᵤ, yᵤ, zᵤ)u" + (xᵥ, yᵥ, zᵥ)v" = rᵤu" + rᵥv"
即，
r’(t) = rᵤu"(t) + rᵥv"(t)
由於，曲線 S 上 任意一點 p 處，偏導向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 是確定的，於是 上式說明：
曲面內 任意 過 p 點的曲線 r(t) 在 p 點 處的 切線向量 r"(t)|p 是 偏導向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 的線性組合
進而，只要保證 rᵤ|p 和 rᵥ|p 線性無關，則 過 p 點的 所有 曲面內曲線 在 該點處 的切向量 組成 一個 以 rᵤ|p， rᵥ|p 為基 的 二維 線性空間，稱為 切空間，記為 Tp(S)。
切空間 Tp(S) 就上面定義中的 p點處的切面 T。
所謂 rᵤ 和 rᵥ 線性無關，就是 rᵤ 和 rᵥ 不平行，根據 向量外積的性質，有：
當 rᵤ // rᵥ 時，|rᵤ × rᵥ| = 0
因為|rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin ∠ rᵤ rᵥ 當 rᵤ // rᵥ 時 ∠ rᵤ rᵥ = kπ ，於是 |rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin(kπ) = 0。
於是 只要滿足 |rᵤ × rᵥ| ≠ 0 就是可以保證 rᵤ 和 rᵥ 線性無關了。
在利用 向量外積的定義：
(rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵤ, (rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵥ
我們，令，
n = rᵤ × rᵥ / |rᵤ × rᵥ|
單位向量 n 垂直於 切空間 內 所有 切向量，從而 就 垂直於 切面 T，於是 就 位於 法線 n 內，稱 n 為 曲面 的 法向量。
考慮 任意 具有自然引數的 曲面內 曲線 r(s) = r(u(s), v(s))，有，
α = r"(s) = rᵤu"(s) + rᵥv"(s)
於是，
α" = (rᵤu"(s) + rᵥv"(s))" = (rᵤ)"u"(s) + rᵤu""(s) + (rᵥ)"v"(s) + rᵥv""(s) = (rᵤᵤu"(s) + rᵤᵥv"(s))u"(s) + rᵤu""(s) +(rᵥᵤu"(s) + rᵥᵥv"(s))v"(s) + rᵥv""(s) = rᵤᵤ(u"(s))² + rᵤᵥv"(s)u"(s) + rᵥᵤu"(s)v"(s) + rᵥᵥ(v"(s))² + rᵤu""(s) + rᵥv""(s)
再根據，《高等數學》中偏導性質，有：
rᵤᵥ = rᵥᵤ
最後得到：
α" = rᵤᵤ(u"(s))² + 2rᵤᵥu"(s)v"(s) + rᵥᵥ(v"(s))² + rᵤu""(s) + rᵥv""(s)
再考慮，曲率 κ = |α"| 在法向量 n 上投影：
κ cos∠ α" n = κ 1 cos∠ α" n = |α"| |n| cos∠ α" n = α" ⋅ n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))² + rᵤ ⋅ nu""(s) + rᵥ ⋅ nv""(s)
因為 n ⊥ rᵤ, rᵥ 所以 rᵤ ⋅ n = rᵥ ⋅ n = 0，於是得到：
κcos∠ α" n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))²
和上面類似，對於確定 p 點來說，rᵤᵤ ⋅ n， rᵤᵥ ⋅ n， rᵥᵥ ⋅ n 都是確定的，因此 曲線 r(s) 曲率 在 法向量上的投影 只取決於 其，對應的 UV平面 曲線 w(s) = (u(s), v(s)) 的 導數 w"(s) = (u"(s), v"(s))，而 s 是自然引數，所以|w"(s)| = 1，故，w"(s) 只表徵 切線的方向，於是我們可以得出如下結論：
過 任意點 p 的 具有同一切線的 曲面內曲線 r(s) 在 p 點處的 曲率 在 法向量 上的 投影 相同。
根據前面的結論，法截線 m 的 曲率方向 β 垂直於 切線 l，而切線 l 又 與 法線 n 垂直，再加上 法截線 m 和 法線 n 都 處於法截面 N 內，因此 β // n ，這說明 m 的曲率 在 法向量 上 投影 就是 自己，同時也是 曲面 在 l 方向 的 主曲率 κ_n。又由於 任何 以 l 為切線的 曲面內曲線 的曲率 在 法向量 上 投影 都相當，所以 這個投影 就是 主曲率 κ_n，即，
κ_n = κcos∠ α" n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))²
寫成微分形式為：
κ_n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))² = L (du / ds)² + 2rᵤᵥ ⋅ n du/ds dv/ds + rᵥᵥ ⋅ n (dv/ds)² = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / ds²
另一方面，有，
1 = |α| = α⋅α = (rᵤu"(s) + rᵥv"(s)) ⋅ (rᵤu"(s) + rᵥv"(s)) = rᵤ⋅rᵤ(u"(s))² + 2rᵤ⋅rᵥu"(s)v"(s) + rᵥ⋅rᵥ(v"(s))² = rᵤ⋅rᵤ (du / ds)² + 2rᵤ⋅rᵥ du/ds dv/ds + rᵥ⋅rᵥ(dv/ds)² = (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²) / ds²
於是得到：
κ_n = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²)
為了方便，令：
E = rᵤ⋅rᵤ, F = rᵤ⋅rᵥ, G = rᵥ⋅rᵥ, Ⅰ= Edu² + 2Fdudv + Gdv²
L = rᵤᵤ ⋅ n, M = rᵤᵥ ⋅ n, N = rᵥᵥ ⋅ n, Ⅱ = Ldu² + 2Mdudv + Ndv²
則最終得到：
κ_n = Ⅱ/Ⅰ
其中，Ⅰ 和 Ⅱ 是曲面的兩種基本的二次微分形式，類似於一次微分形式：dr = rᵤdu + rᵥdv。
曲面上 p 點處 沿著不同的切線方向 法曲率不盡相同，可以找出其中的 最大值 和 最小值，我們 稱為 主曲率，對應的切線方向稱為 主方向。如果 p 點處 任意切線方向的 法曲率 都相同，則 稱 p 點 為 臍點，臍點 的任意切線方向都是 主方向。
可以證明：曲面上任意一點的兩個主方向總是相互垂直的，並且，設 κ₁，κ₂ 是主曲率 e₁, e₂ 是兩個主方向的單位向量，則 任意切向量 e = e₁cosθ + e₂sinθ 方向的 法曲率為：
κ_n = κ₁cos²θ + κ₂sin²θ
這個也稱為 尤拉公式。
利用尤拉公式，計算 法曲率 就是歸結為 計算 主曲率，那麼 如何計算 主曲率 呢？ 經過研究數學家發現，曲面的主曲率 κ₁，κ₂ 是一元二次方程：
ax² + bx + c = 0, a = EG - F², b = - (LG - 2MF + NE), c = LN - M²
的兩個實數根。
可以驗證 b² - 4ac ≥ 0，這說明 曲面的主曲率 總是存在。
根據韋達定理，有：
K = κ₁κ₂ = c/a = (LN - M²) / (EG - F²)
稱 K 為 高斯曲率。
平面 的 高斯曲率 K 恆為 0，但 高斯曲率 K 恆為 0 的曲面 不一定是 平面，例如：柱面。可以證明，高斯曲率 K 恆為 0 的曲面 都可以被 無縮放的 展開成 為 平面，稱 為 可展曲面。
一個曲面內曲線的 r 曲率 κ 在 法向量 n 上的投影 法曲率 κ_n，和 曲線 r 無關，它體現的是 曲面 在 切向量 α 方向的 彎曲程度，那麼問題來了，我們用什麼表徵 曲面內 曲線 r 的實際 彎曲程度呢？聰明的劇友估計已經想到了，那麼就是 將 曲率 κ 在切平面 T 上進行投影，稱為 測地曲率，記為 κ_g。
具體來說，由於 單位向量 α × n ∈ T，並且 α × n ⊥ α, n 所以 κ 切平面 T 的 投影，就是 κ 在 α × n 上的投影，於是我們得到測地曲率公式：
κ_g = α" ⋅ (α × n) = (n, α, α")
測地曲率橫為零的曲面內曲線稱為，測地線。測地線 在 UV 平面 中 是一條直線，因此 測地線 也被看曲面上的直線。球面的大圓（例如：赤道緯線，經線）就是測地線。
非歐幾何的第五公設：
過直線外一點，有不等於 1 條直線和原直線平行。
中的 直線 就是指的 測地線。
在《平面幾何》中有，外角和公式：
多邊形外角之和 = 360°
將其擴充套件到 曲面多邊形，就是高斯博內特公式：
設，曲面中的曲邊多邊形 C 圍成的區域是 D，外角是 α₁, α₂, ..., α_n，則有,
對於 平面 來說 K = 0，多邊形的邊是直線 κ_g = 0，這樣 高斯博內特公式 就退化為 外角和公式。
設 直邊三角形（邊為測地線 κ_g = 0） 內角為 φ₁, φ₂，φ₃，根據 高斯博內特公式 有：
∫∫ ᴅ K dσ + (π - φ₁) + (π - φ₂) + (π - φ₃) = 2π
φ₁ + φ₂ + φ₃ = π + ∫∫ᴅ K dσ
平面 的 高斯曲率 K = 0，於是 三角形內角和等於 180°；
馬鞍面 的 高斯曲率 K < 0, 於是 三角形內角和小於 180°；
橢球面 的 高斯曲率 K > 0, 於是 三角形內角和大於 180°；
這個結論，我們在 非歐幾何的 科普文章中 常常看到。
至此，在《黎曼幾何》之前的 關於 曲率的知識 就給大家介紹完了！這些知識，對於有志於瞭解非歐幾何 是非常重要的，更是 進入 非歐幾何 的正確途徑。
（小石頭來嘗試著回答這個問題！）
關於曲率概念的簡要發展歷史：
早期曲率的概念是伴隨著《微積分》一起出現地，它是對於曲線而言的，也是構成經典微分幾何中《曲線論》的基石之一；
之後，以高斯為主的數學家將 曲線的曲率 引入到曲面中，得到了：法曲率、側地曲率、高斯曲率 等概念，同時也促成了《曲面論》的誕生；
再之後，黎曼將 高斯曲率 等概念 推廣到 任意維度的流形中 以 構建《黎曼幾何》，從而開啟了現代微分幾何的大門。
基於《解析幾何》的知識，我們知道，三維空間 R³ 的空間曲線，可寫成如下引數形式（t ∈ R）：
為了方便，仿照空間向量 r = (x, y, z)，我們將 曲線的引數方程，改寫為：
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
這樣，就得到 一個函式 r: R → R³，稱這種函式為 向量函式。
向量函式 除了自然具有 向量的加法、數乘、模（範數） 等運算 外，我們還定義 微積分運算 如下：
r"(t) = (x"(t), y"(t), z"(t))
∫ r(t) dt = (∫ x(t) dt, ∫ y(t) dt, ∫ z(t) dt)
由《高等數學》的微分知識，我們知道，曲線 r(t) 的導數 r"(t) 為 曲線 在 t 點處的 切線，再根據曲線積分，可得到 曲線弧長函式：
利用弧長函式，曲線從 a 到 b 的 弧長為：s(b) - s(a)。
如果，曲線引數 t 的選取，使得：
|r‘(t)| = 1
則，曲線的弧長函式變為：
s = ∫ 1dt = t
這時，曲線就是以 弧長作為引數，即，
r(t) = r(s)
我們稱這種 弧長引數 為 自然引數。
因為 |r"(s)| = 1，所以，在自然引數下，曲線 r(s) 的切向 r’(s) 為 單位向量，稱為 切向量，記為 α = r’(s)。
由於， α 是單位向量，所以 α 只指示曲線方向，進而 其導數 α" 自然就是 曲線的方向的變化，令，
κ = |α"| , β = α / κ
則，β 表示 曲線方向變化的方向，κ 就是曲線方向的變化率，稱 κ 為 曲率。
曲率 κ(s) 表徵曲線 在每個 s 點的彎曲程度，有，
κ(s) = 0 ，曲線為直線；
κ(s) = 非零常數，曲線為位於球面上；
注：除了曲率外，決定曲線形狀的另外一個因素 是 撓率。撓率為 0 的 曲線在 一個平面內，這時 如果 曲率為非零常數，則 曲線是一個圓。
關於 撓率的 詳細介紹 可參考 我回答的 另一個問題：撓率描述的是空間曲線的什麼？
注：α 不指示曲線長度隨著 引數 s 的變化快慢。曲線長度的變化率 |r’(t)|，不影響曲線的形狀，它只是表徵 引數 t 在曲線內部行走的速度，當 t = s 時，就表明 t 在 做 速度 = 1 的勻速直線（t 在 曲線內部認為自己走的是直線）運動。
對於任意向量函式 a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)) 和 b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)) 有，
(a ⋅ b)" = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)‘ = a₁"b₁ + a₁b₁" + a₂"b₂ + a₂b₂" + a₃"b₃ + a₃b₃" = (a₁"b₁ + a₂"b₂ + a₃"b₃ ) + (a₁b₁" + a₂b₂" + a₃b₃") = a" ⋅ b + a ⋅ b"
再根據 向量內積的性質：
|a|² = a ⋅ a
對等式兩邊求導，有：
2|a|" = (|a|²)’ = (a ⋅ a)" = a" ⋅ a + a ⋅ a" = 2 a ⋅ a"
得到：
|a|" = a ⋅ a"
使用上面的結論，有：
α ⋅ α" = |α|" = |r"(s)|" = 1" = 0
而我們知道：
內積為 0 的 兩個非零向量一定相互垂直
因為 a ⋅ b = |a||b| cos ∠ a b ，當 a ⊥ b 時 ∠ a b = π/2 + kπ ，於是 a ⋅ b = |a||b| cos(π/2 + kπ) = 0。
因此，得到：
α" ⊥ α，即，β ⊥ α
這說明，曲率方向一定垂直於 切線方向，於是 稱 β 為 主法向量。
利用上面的曲線曲率概念，僅使用 高中所學的《解析幾何》的知識，我們可以有如下的一系列關於曲面的定義：
與 曲面 S 有且僅有一點 p 重合的平面 T 稱為 切面，p 稱為 切點；
過切點 p 垂直於 切面 T 的直線 n，稱為 法線；
以法線為軸 的 任意平面 N，都稱為 一個 法截面；
法截面 N 和 曲面 S 的交線 m 稱為 法截線；
將 法截線 m 的 曲率 稱為 曲面 S 在 p 點 處 沿著 法截面 N 方向 的 主曲率，記為 κ_n。
由圖可知，主曲率 κ_n 描述了 曲面在 p 點 這個位置，法截面 N 這個方向 的 彎曲程度，不同的位置和方向，曲面的彎曲程度往往不同。
誠然，上面的這些定義非常的粗糙，要搞清楚 法曲率 的性質，我們需要進一步分析。
仿照 上面 曲線的做法，我們可以將 曲面的引數方程（u, v ∈ R）：
改寫為，二元向量函式 r: R² → R³，
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
這樣以來，曲面 r (u, v) 就將 UV 平面 R² 中的點 (u, v) 對映為 XYZ 三維空間 R³ 中的點 r(u, v) = (x, y, z) ，同時 也將 任意 平面曲線：
w = (u(t), v(t))
對映為 空間曲線：
r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))，
而且，這些空間曲線 r(t) 都有位於 曲面 r(u, v) 上。
和前面的 向量函式的導數運算類似，可以定義 二元向量函式的 偏導運算：
rᵤ(u, v) = (xᵤ(u, v), yᵤ(u, v), zᵤ(u, v))
rᵥ(u, v) = (xᵥ(u, v), yᵥ(u, v), zᵥ(u, v))
再根據，《高等數學》中的 二元函式鏈式求導法則：
f"(u, v) = fᵤ u" + fᵥ v"
有，
r’(t) = r"(u, v) = (x"(u, v), y"(u, v), z"(u, v)) = (xᵤu" + xᵥv", yᵤu" + yᵥv", zᵤu" + zᵥv") = (xᵤ, yᵤ, zᵤ)u" + (xᵥ, yᵥ, zᵥ)v" = rᵤu" + rᵥv"
即，
r’(t) = rᵤu"(t) + rᵥv"(t)
由於，曲線 S 上 任意一點 p 處，偏導向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 是確定的，於是 上式說明：
曲面內 任意 過 p 點的曲線 r(t) 在 p 點 處的 切線向量 r"(t)|p 是 偏導向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 的線性組合
進而，只要保證 rᵤ|p 和 rᵥ|p 線性無關，則 過 p 點的 所有 曲面內曲線 在 該點處 的切向量 組成 一個 以 rᵤ|p， rᵥ|p 為基 的 二維 線性空間，稱為 切空間，記為 Tp(S)。
切空間 Tp(S) 就上面定義中的 p點處的切面 T。
所謂 rᵤ 和 rᵥ 線性無關，就是 rᵤ 和 rᵥ 不平行，根據 向量外積的性質，有：
當 rᵤ // rᵥ 時，|rᵤ × rᵥ| = 0
因為|rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin ∠ rᵤ rᵥ 當 rᵤ // rᵥ 時 ∠ rᵤ rᵥ = kπ ，於是 |rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin(kπ) = 0。
於是 只要滿足 |rᵤ × rᵥ| ≠ 0 就是可以保證 rᵤ 和 rᵥ 線性無關了。
在利用 向量外積的定義：
(rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵤ, (rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵥ
我們，令，
n = rᵤ × rᵥ / |rᵤ × rᵥ|
單位向量 n 垂直於 切空間 內 所有 切向量，從而 就 垂直於 切面 T，於是 就 位於 法線 n 內，稱 n 為 曲面 的 法向量。
考慮 任意 具有自然引數的 曲面內 曲線 r(s) = r(u(s), v(s))，有，
α = r"(s) = rᵤu"(s) + rᵥv"(s)
於是，
α" = (rᵤu"(s) + rᵥv"(s))" = (rᵤ)"u"(s) + rᵤu""(s) + (rᵥ)"v"(s) + rᵥv""(s) = (rᵤᵤu"(s) + rᵤᵥv"(s))u"(s) + rᵤu""(s) +(rᵥᵤu"(s) + rᵥᵥv"(s))v"(s) + rᵥv""(s) = rᵤᵤ(u"(s))² + rᵤᵥv"(s)u"(s) + rᵥᵤu"(s)v"(s) + rᵥᵥ(v"(s))² + rᵤu""(s) + rᵥv""(s)
再根據，《高等數學》中偏導性質，有：
rᵤᵥ = rᵥᵤ
最後得到：
α" = rᵤᵤ(u"(s))² + 2rᵤᵥu"(s)v"(s) + rᵥᵥ(v"(s))² + rᵤu""(s) + rᵥv""(s)
再考慮，曲率 κ = |α"| 在法向量 n 上投影：
κ cos∠ α" n = κ 1 cos∠ α" n = |α"| |n| cos∠ α" n = α" ⋅ n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))² + rᵤ ⋅ nu""(s) + rᵥ ⋅ nv""(s)
因為 n ⊥ rᵤ, rᵥ 所以 rᵤ ⋅ n = rᵥ ⋅ n = 0，於是得到：
κcos∠ α" n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))²
和上面類似，對於確定 p 點來說，rᵤᵤ ⋅ n， rᵤᵥ ⋅ n， rᵥᵥ ⋅ n 都是確定的，因此 曲線 r(s) 曲率 在 法向量上的投影 只取決於 其，對應的 UV平面 曲線 w(s) = (u(s), v(s)) 的 導數 w"(s) = (u"(s), v"(s))，而 s 是自然引數，所以|w"(s)| = 1，故，w"(s) 只表徵 切線的方向，於是我們可以得出如下結論：
過 任意點 p 的 具有同一切線的 曲面內曲線 r(s) 在 p 點處的 曲率 在 法向量 上的 投影 相同。
根據前面的結論，法截線 m 的 曲率方向 β 垂直於 切線 l，而切線 l 又 與 法線 n 垂直，再加上 法截線 m 和 法線 n 都 處於法截面 N 內，因此 β // n ，這說明 m 的曲率 在 法向量 上 投影 就是 自己，同時也是 曲面 在 l 方向 的 主曲率 κ_n。又由於 任何 以 l 為切線的 曲面內曲線 的曲率 在 法向量 上 投影 都相當，所以 這個投影 就是 主曲率 κ_n，即，
κ_n = κcos∠ α" n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))²
寫成微分形式為：
κ_n = rᵤᵤ ⋅ n (u"(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu"(s)v"(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v"(s))² = L (du / ds)² + 2rᵤᵥ ⋅ n du/ds dv/ds + rᵥᵥ ⋅ n (dv/ds)² = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / ds²
另一方面，有，
1 = |α| = α⋅α = (rᵤu"(s) + rᵥv"(s)) ⋅ (rᵤu"(s) + rᵥv"(s)) = rᵤ⋅rᵤ(u"(s))² + 2rᵤ⋅rᵥu"(s)v"(s) + rᵥ⋅rᵥ(v"(s))² = rᵤ⋅rᵤ (du / ds)² + 2rᵤ⋅rᵥ du/ds dv/ds + rᵥ⋅rᵥ(dv/ds)² = (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²) / ds²
於是得到：
κ_n = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²)
為了方便，令：
E = rᵤ⋅rᵤ, F = rᵤ⋅rᵥ, G = rᵥ⋅rᵥ, Ⅰ= Edu² + 2Fdudv + Gdv²
L = rᵤᵤ ⋅ n, M = rᵤᵥ ⋅ n, N = rᵥᵥ ⋅ n, Ⅱ = Ldu² + 2Mdudv + Ndv²
則最終得到：
κ_n = Ⅱ/Ⅰ
其中，Ⅰ 和 Ⅱ 是曲面的兩種基本的二次微分形式，類似於一次微分形式：dr = rᵤdu + rᵥdv。
曲面上 p 點處 沿著不同的切線方向 法曲率不盡相同，可以找出其中的 最大值 和 最小值，我們 稱為 主曲率，對應的切線方向稱為 主方向。如果 p 點處 任意切線方向的 法曲率 都相同，則 稱 p 點 為 臍點，臍點 的任意切線方向都是 主方向。
可以證明：曲面上任意一點的兩個主方向總是相互垂直的，並且，設 κ₁，κ₂ 是主曲率 e₁, e₂ 是兩個主方向的單位向量，則 任意切向量 e = e₁cosθ + e₂sinθ 方向的 法曲率為：
κ_n = κ₁cos²θ + κ₂sin²θ
這個也稱為 尤拉公式。
利用尤拉公式，計算 法曲率 就是歸結為 計算 主曲率，那麼 如何計算 主曲率 呢？ 經過研究數學家發現，曲面的主曲率 κ₁，κ₂ 是一元二次方程：
ax² + bx + c = 0, a = EG - F², b = - (LG - 2MF + NE), c = LN - M²
的兩個實數根。
可以驗證 b² - 4ac ≥ 0，這說明 曲面的主曲率 總是存在。
根據韋達定理，有：
K = κ₁κ₂ = c/a = (LN - M²) / (EG - F²)
稱 K 為 高斯曲率。
平面 的 高斯曲率 K 恆為 0，但 高斯曲率 K 恆為 0 的曲面 不一定是 平面，例如：柱面。可以證明，高斯曲率 K 恆為 0 的曲面 都可以被 無縮放的 展開成 為 平面，稱 為 可展曲面。
一個曲面內曲線的 r 曲率 κ 在 法向量 n 上的投影 法曲率 κ_n，和 曲線 r 無關，它體現的是 曲面 在 切向量 α 方向的 彎曲程度，那麼問題來了，我們用什麼表徵 曲面內 曲線 r 的實際 彎曲程度呢？聰明的劇友估計已經想到了，那麼就是 將 曲率 κ 在切平面 T 上進行投影，稱為 測地曲率，記為 κ_g。
具體來說，由於 單位向量 α × n ∈ T，並且 α × n ⊥ α, n 所以 κ 切平面 T 的 投影，就是 κ 在 α × n 上的投影，於是我們得到測地曲率公式：
κ_g = α" ⋅ (α × n) = (n, α, α")
測地曲率橫為零的曲面內曲線稱為，測地線。測地線 在 UV 平面 中 是一條直線，因此 測地線 也被看曲面上的直線。球面的大圓（例如：赤道緯線，經線）就是測地線。
非歐幾何的第五公設：
過直線外一點，有不等於 1 條直線和原直線平行。
中的 直線 就是指的 測地線。
在《平面幾何》中有，外角和公式：
多邊形外角之和 = 360°
將其擴充套件到 曲面多邊形，就是高斯博內特公式：
設，曲面中的曲邊多邊形 C 圍成的區域是 D，外角是 α₁, α₂, ..., α_n，則有,
對於 平面 來說 K = 0，多邊形的邊是直線 κ_g = 0，這樣 高斯博內特公式 就退化為 外角和公式。
設 直邊三角形（邊為測地線 κ_g = 0） 內角為 φ₁, φ₂，φ₃，根據 高斯博內特公式 有：
∫∫ ᴅ K dσ + (π - φ₁) + (π - φ₂) + (π - φ₃) = 2π
得到：
φ₁ + φ₂ + φ₃ = π + ∫∫ᴅ K dσ
平面 的 高斯曲率 K = 0，於是 三角形內角和等於 180°；
馬鞍面 的 高斯曲率 K < 0, 於是 三角形內角和小於 180°；
橢球面 的 高斯曲率 K > 0, 於是 三角形內角和大於 180°；
這個結論，我們在 非歐幾何的 科普文章中 常常看到。
至此，在《黎曼幾何》之前的 關於 曲率的知識 就給大家介紹完了！這些知識，對於有志於瞭解非歐幾何 是非常重要的，更是 進入 非歐幾何 的正確途徑。