數學家知道有人問這問題，一定甩一本數學分析或者實變函式給你。無理數在R1空間裡是確定的。也就是說，數軸上的無理數是確定的。不僅如此，它還與數軸上的點一一對應。說這個問題的人，數學如何我不評論多少，但至少物理不行！量子力學的不確定關係指的是，互不對易的物理量在大多數情況下是不能同時取確定本徵值的。換言之，但就一個變數而言，不存在不確定性。所以，量子力學的不確定性關係是物理獨有的，與數學沒有關係。
這裡我稍微科普一下數學的知識。對於實數，我們可以用一下方法來定義。
設R是一個集合，若它滿足下列三組公理，則稱為實數系，它的元素稱為實數:
I 域公理
對任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b與惟一的元素a·b分別與之對應，依次稱為a，b的和與積，滿足：1. 對任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。2.對任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。3. 對任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。4.存在R中兩個不同的元素，記為0,1分別稱為加法單位元與乘法單位元，使對所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。5. 對每個a∈R，存在R中惟一的元素，記為-a，稱為加法逆元；對每個a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，記為a^(-1)，稱為乘法逆元，使a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。 【可以說成，實數對加法和乘法構成整環，且每個非零元素都有逆元。這也是域的定義。】
II序公理
A、在任意兩個元素a，b∈R之間存在一種關係，記為“>”，使對任意a，b，c∈R，滿足： 1.（三歧性） a>b,b>a,a=b三種關係中必有一個且僅有一個成立。 2.（傳遞性） 若a>b且b>c則a>c。 3.（與運算的相容性） 若a>b，則a+c>b+c；若a>b，c>0則ac>bc。
B、在任意兩個元素a，b∈R之間存在一種關係，記為“≥”，使對任意a，b，c∈R，滿足： 1.（反對稱性） 若a ≥b且,b ≥a那麼a=b。 2.（傳遞性） 若a ≥b且b ≥ c則a ≥c。 3.（與運算的相容性） 若a≥b，則a+c ≥ b+c；若a≥0且b≥0，則ab ≥0。 【注：對於序公理AB這兩種描述是等價的。因為我們可以透過其中一個符號及其性質來定義另一個符號。】
III(1) 阿基米德公理：對任意a，b∈R，a>0 存在正整數n，使na>b。
III(2)完備性公理：R中的任何基本列都在R中收斂。
稱滿足公理組I的集為域；滿足公理組I與II的集為有序域；滿足公理組I，II與III(1)的集為阿基米德有序域；滿足公理組I～III的集為完備阿基米德有序域或完備有序域。
這樣，實數系就是完備阿基米德有序域。所有有理數的集合Q就是阿基米德有序域，但它不滿足完備性公理。
實數公理有多種不同的提法，常見的另一種提法是把公理組III換成 III’連續性公理（戴德金公理）
所謂戴氏分割，指的是全體有理數集合Q被劃分為兩個互不相交的部分A和A"，使得A中的所有元素都小於A"中的元素。戴德金斷言，一定存在實數β，使得β要麼是A中的最大數，要麼是A"中的最小數。
這裡把戴德金定理用作連續性公理。公理組I～III與公理組I+II+III’是等價的，注意不是III等價於III’。
這裡強調，與戴德金原理等價的7個實數基本定理【確界存在性定理，單調有界收斂定理，閉區間套定理，有限覆蓋定理（它也是緊緻性的定義），聚點定理，波爾查諾——魏爾斯特拉斯定理（有界序列必有收斂子列，也叫列緊性）、柯西準則（一般也是極限的定義）】中，並不是每一個都能推出阿基米德公理的。具體來說，柯西收斂準則和閉區間套定理不可以。因而，完備性公理可以換成確界原理、閉區間套定理、單調收斂定理、聚點原理等。卻不能直接換成柯西收斂準則或者閉區間套定理。
以上內容參考：卓裡奇．《數學分析（第一卷）》(第4版) ：高等教育出版社，2006。
按照實數模型，無理數是確定的，而非不確定！
下面我在科普一下，量子力學。量子力學這話題和上面的話題一樣，是很專業的。不是拿來就說的。因此，我也得鋪墊一下，量子力學公理。
（1）微觀體系的運動狀態由波函式描述，波函式可以歸一化，也可以不歸一化。
（2）微觀體系的運動狀態波函式隨時間變化的規律遵從薛定諤方程（這一條可以推廣到KG方程、Dirac方程等）。
（3）力學量由相應的線性厄米算符表示（這是泛函分析引入進物理的重要一步）。
（4）力學量的本徵值和本徵函式將決定力學量所有可能的取值和可能的微觀狀態。
（5）波函式是有力學量的本徵函式疊加形成，疊加係數的模的平方是粒子處於該本徵函式態的機率。力學量的平均值是由力學量所有本徵值與粒子處於相應本徵函式的機率之積之和來給出的。
（6）全同的多粒子體系的波函式對於任意一對粒子交換而言具有對稱性：玻色子系的波函式是對稱的，費米子系的波函式是反對稱的。
那麼，不確定關係可由這個公理化體系給出。可以證明，相互對易的力學量具有相同的完備本徵函式系。而互不對易的力學量將沒有相同的完備本徵函式系。也就是說，對於如果是互相對易的力學量，如果粒子恰好處於某一個力學量的本徵函式態上，那麼該力學量可以取得確定值，而另一個力學量也可以取得確定值；但是對於，互不對易的力學量就不是了，粒子恰好處於某一個力學量的本徵函式態上，那麼該力學量還是可以取得確定值，但是另一個力學量就很有可能不是取確定值。【注意我的措辭，是“很有可能”。因為存在反例，角動量的三個分量是互不對易的，但是對於基態氫原子而言，角動量三個分量都是0。不過，對於激發態氫原子則是滿足不確定關係的。】不確定關係由此便可以推匯出來。
數學家知道有人問這問題，一定甩一本數學分析或者實變函式給你。無理數在R1空間裡是確定的。也就是說，數軸上的無理數是確定的。不僅如此，它還與數軸上的點一一對應。說這個問題的人，數學如何我不評論多少，但至少物理不行！量子力學的不確定關係指的是，互不對易的物理量在大多數情況下是不能同時取確定本徵值的。換言之，但就一個變數而言，不存在不確定性。所以，量子力學的不確定性關係是物理獨有的，與數學沒有關係。
這裡我稍微科普一下數學的知識。對於實數，我們可以用一下方法來定義。
設R是一個集合，若它滿足下列三組公理，則稱為實數系，它的元素稱為實數:
I 域公理
對任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b與惟一的元素a·b分別與之對應，依次稱為a，b的和與積，滿足：1. 對任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。2.對任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。3. 對任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。4.存在R中兩個不同的元素，記為0,1分別稱為加法單位元與乘法單位元，使對所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。5. 對每個a∈R，存在R中惟一的元素，記為-a，稱為加法逆元；對每個a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，記為a^(-1)，稱為乘法逆元，使a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。 【可以說成，實數對加法和乘法構成整環，且每個非零元素都有逆元。這也是域的定義。】
II序公理
A、在任意兩個元素a，b∈R之間存在一種關係，記為“>”，使對任意a，b，c∈R，滿足： 1.（三歧性） a>b,b>a,a=b三種關係中必有一個且僅有一個成立。 2.（傳遞性） 若a>b且b>c則a>c。 3.（與運算的相容性） 若a>b，則a+c>b+c；若a>b，c>0則ac>bc。
B、在任意兩個元素a，b∈R之間存在一種關係，記為“≥”，使對任意a，b，c∈R，滿足： 1.（反對稱性） 若a ≥b且,b ≥a那麼a=b。 2.（傳遞性） 若a ≥b且b ≥ c則a ≥c。 3.（與運算的相容性） 若a≥b，則a+c ≥ b+c；若a≥0且b≥0，則ab ≥0。 【注：對於序公理AB這兩種描述是等價的。因為我們可以透過其中一個符號及其性質來定義另一個符號。】
III(1) 阿基米德公理：對任意a，b∈R，a>0 存在正整數n，使na>b。
III(2)完備性公理：R中的任何基本列都在R中收斂。
稱滿足公理組I的集為域；滿足公理組I與II的集為有序域；滿足公理組I，II與III(1)的集為阿基米德有序域；滿足公理組I～III的集為完備阿基米德有序域或完備有序域。
這樣，實數系就是完備阿基米德有序域。所有有理數的集合Q就是阿基米德有序域，但它不滿足完備性公理。
實數公理有多種不同的提法，常見的另一種提法是把公理組III換成 III’連續性公理（戴德金公理）
所謂戴氏分割，指的是全體有理數集合Q被劃分為兩個互不相交的部分A和A"，使得A中的所有元素都小於A"中的元素。戴德金斷言，一定存在實數β，使得β要麼是A中的最大數，要麼是A"中的最小數。
這裡把戴德金定理用作連續性公理。公理組I～III與公理組I+II+III’是等價的，注意不是III等價於III’。
這裡強調，與戴德金原理等價的7個實數基本定理【確界存在性定理，單調有界收斂定理，閉區間套定理，有限覆蓋定理（它也是緊緻性的定義），聚點定理，波爾查諾——魏爾斯特拉斯定理（有界序列必有收斂子列，也叫列緊性）、柯西準則（一般也是極限的定義）】中，並不是每一個都能推出阿基米德公理的。具體來說，柯西收斂準則和閉區間套定理不可以。因而，完備性公理可以換成確界原理、閉區間套定理、單調收斂定理、聚點原理等。卻不能直接換成柯西收斂準則或者閉區間套定理。
以上內容參考：卓裡奇．《數學分析（第一卷）》(第4版) ：高等教育出版社，2006。
按照實數模型，無理數是確定的，而非不確定！
下面我在科普一下，量子力學。量子力學這話題和上面的話題一樣，是很專業的。不是拿來就說的。因此，我也得鋪墊一下，量子力學公理。
（1）微觀體系的運動狀態由波函式描述，波函式可以歸一化，也可以不歸一化。
（2）微觀體系的運動狀態波函式隨時間變化的規律遵從薛定諤方程（這一條可以推廣到KG方程、Dirac方程等）。
（3）力學量由相應的線性厄米算符表示（這是泛函分析引入進物理的重要一步）。
（4）力學量的本徵值和本徵函式將決定力學量所有可能的取值和可能的微觀狀態。
（5）波函式是有力學量的本徵函式疊加形成，疊加係數的模的平方是粒子處於該本徵函式態的機率。力學量的平均值是由力學量所有本徵值與粒子處於相應本徵函式的機率之積之和來給出的。
（6）全同的多粒子體系的波函式對於任意一對粒子交換而言具有對稱性：玻色子系的波函式是對稱的，費米子系的波函式是反對稱的。
那麼，不確定關係可由這個公理化體系給出。可以證明，相互對易的力學量具有相同的完備本徵函式系。而互不對易的力學量將沒有相同的完備本徵函式系。也就是說，對於如果是互相對易的力學量，如果粒子恰好處於某一個力學量的本徵函式態上，那麼該力學量可以取得確定值，而另一個力學量也可以取得確定值；但是對於，互不對易的力學量就不是了，粒子恰好處於某一個力學量的本徵函式態上，那麼該力學量還是可以取得確定值，但是另一個力學量就很有可能不是取確定值。【注意我的措辭，是“很有可能”。因為存在反例，角動量的三個分量是互不對易的，但是對於基態氫原子而言，角動量三個分量都是0。不過，對於激發態氫原子則是滿足不確定關係的。】不確定關係由此便可以推匯出來。