(1) 凱利公式
凱利公式由John L.Kelly.Jr於1956年發表在《貝爾系統技術期刊》上，用於計算特定賭局中的下注比例，以使使用者的資金增長率達到最大化。
凱利公式的原始表示式如下：
f* = ( kp - 1 ) / ( k - 1 )
其中p代表勝率，k代表毛賠率。
(2) 毛賠率
毛賠率指包含本金的賠率。比如單次下注1元，賭輸時損失1元，賭贏時獲得3元(包含下注的1元)。
則本次賭局的毛賠率為3:1，淨賠率為2:1，淨利潤為2元。
(3) 應用舉例
假設有一場賭局，每次下注的勝率為60%，賭輸時損失全部下注金額，賭贏時可獲得3倍的下注金額(含下注金額)。
請問每次應下注多大金額，才能使資金的增值速度最快？
在這場賭局中，勝率p=60%，毛賠率k=3，代入凱利公式計算，可求得最佳下注比例：f* = 40%
即每次拿剩餘資金的40%下注，可使資金的增值速度最快。
凱利公式在投資中的應用
(1) 凱利變形式
由上述分析可知淨賠率 = 毛賠率 - 1，現設賭局的淨賠率為b，則b=k-1；設賭局輸掉的機率為q，則q=1-p。
將以上變形式代入 f* = (kp-1) / (k-1)，化簡得到凱利公式的等價式如下：
f* = ( bp - q ) / b
其中p代表賭贏率，q代表賭輸率，b代表淨賠率。
(2) 應用舉例
假設有一個投資機會，止盈(Win)W=10%，上損(Loss)L=20%，盈利的機率為p=70%，我們應該拿多少資金來建倉呢？
在這筆投資中，勝率p=70%，淨賠率b=0.5(b=W/L)，代入公式 f=(bp-q)/b 計算：f=10%
(3) 倉位計算公式
凱利公式的本質是對風險的管理，f=10%*表示我們應該用剩餘資金的10%去冒險，即止損金額應為剩餘資金的10%。
根據公式冒險資金 = 倉位 * 止損百分比可知：
倉位 = 冒險資金 / 止損百分比
因此，這筆投資我們的倉位應為：M=f*/L=50%
我們將b=W/L代入倉位計算公式：M=f*/L，化簡後如下：
M = ( pW - qL ) / WL
其中p代表勝率，q代表敗率，W代表止盈百分比，L代表止損百分比。
代入公式驗證一下，結果仍然是50%。
(4) 凱利公式與槓桿
由於凱利公式計算的是冒險資金的比例，因此，在盈利期望值較大或止損百分比較小的情況下，可以會出現倉位大於100%的情況。
舉例：現有一個投資機會，勝率為60%，止損為10%，止盈為10%。
代入公式 (pW-qL)/WL計算，得到最佳倉位M=200%。
根據凱利公式計算，這筆投資應該使用剩餘資金的20%冒險，但由於止損百分比為10%，所以倉位應為200%。
理論上，可以借錢建倉或使用槓桿。
(1) 凱利公式
凱利公式由John L.Kelly.Jr於1956年發表在《貝爾系統技術期刊》上，用於計算特定賭局中的下注比例，以使使用者的資金增長率達到最大化。
凱利公式的原始表示式如下：
f* = ( kp - 1 ) / ( k - 1 )
其中p代表勝率，k代表毛賠率。
(2) 毛賠率
毛賠率指包含本金的賠率。比如單次下注1元，賭輸時損失1元，賭贏時獲得3元(包含下注的1元)。
則本次賭局的毛賠率為3:1，淨賠率為2:1，淨利潤為2元。
(3) 應用舉例
假設有一場賭局，每次下注的勝率為60%，賭輸時損失全部下注金額，賭贏時可獲得3倍的下注金額(含下注金額)。
請問每次應下注多大金額，才能使資金的增值速度最快？
在這場賭局中，勝率p=60%，毛賠率k=3，代入凱利公式計算，可求得最佳下注比例：f* = 40%
即每次拿剩餘資金的40%下注，可使資金的增值速度最快。
凱利公式在投資中的應用
(1) 凱利變形式
由上述分析可知淨賠率 = 毛賠率 - 1，現設賭局的淨賠率為b，則b=k-1；設賭局輸掉的機率為q，則q=1-p。
將以上變形式代入 f* = (kp-1) / (k-1)，化簡得到凱利公式的等價式如下：
f* = ( bp - q ) / b
其中p代表賭贏率，q代表賭輸率，b代表淨賠率。
(2) 應用舉例
假設有一個投資機會，止盈(Win)W=10%，上損(Loss)L=20%，盈利的機率為p=70%，我們應該拿多少資金來建倉呢？
在這筆投資中，勝率p=70%，淨賠率b=0.5(b=W/L)，代入公式 f=(bp-q)/b 計算：f=10%
(3) 倉位計算公式
凱利公式的本質是對風險的管理，f=10%*表示我們應該用剩餘資金的10%去冒險，即止損金額應為剩餘資金的10%。
根據公式冒險資金 = 倉位 * 止損百分比可知：
倉位 = 冒險資金 / 止損百分比
因此，這筆投資我們的倉位應為：M=f*/L=50%
我們將b=W/L代入倉位計算公式：M=f*/L，化簡後如下：
M = ( pW - qL ) / WL
其中p代表勝率，q代表敗率，W代表止盈百分比，L代表止損百分比。
代入公式驗證一下，結果仍然是50%。
(4) 凱利公式與槓桿
由於凱利公式計算的是冒險資金的比例，因此，在盈利期望值較大或止損百分比較小的情況下，可以會出現倉位大於100%的情況。
舉例：現有一個投資機會，勝率為60%，止損為10%，止盈為10%。
代入公式 (pW-qL)/WL計算，得到最佳倉位M=200%。
根據凱利公式計算，這筆投資應該使用剩餘資金的20%冒險，但由於止損百分比為10%，所以倉位應為200%。
理論上，可以借錢建倉或使用槓桿。