在拓撲變換下不變的性質稱為圖形的拓撲性質。拓撲學主要研究的就是圖形的拓撲性質，也叫做拓撲不變數。

幾何學研究的是幾何圖形在某一類變換下不變的性質。根據變換類別的不同我們可以將幾何學進行分類，幾何圖形在某種特定變換下不變的性質是在一類具體幾何需要重點研究的內容。從數學上我們知道，某種變換總可以用一類特殊的矩陣來表示。因此在進行數學描述時，變換和矩陣總是分不開的。

我們最先接觸的幾何是歐幾里得幾何，其對應的變換是等距變換，即保持任意兩點間距不變的變換，其基本操作包括平移、旋轉和映象。在等距變換下不變的性質稱為圖形的度量性質，如圖形的長度、角度、面積等。

圖1. 拉斐爾的雅典學院。圖中展示了一個希臘數學家，有可能是歐幾里得或者阿基米德在用指南針描繪一個幾何圖形。(From wiki: Euclidean geometry)

如果我們將條件放寬，允許圖形在變換前後長度、角度和麵積可以不同，但要求平行線還是平行線，平行線段的比以及兩個圖形面積的比不變，這種變換稱之為仿射變換，在數學上可以表示為線性變換與平移變換的乘積：

仿射變換的基本操作包括平移(translation)、翻轉(flip)、旋轉(rotation)、縮放(scaling)、剪下(shear). 圖2. 仿射變換的基本操作

如果兩個圖形可以透過仿射變換轉化，則這兩個圖形稱為仿射等價。例如在仿射幾何中，所有的三角形仿射等價，所有的橢圓也仿射等價，他們都可以透過以上操作聯絡起來。我們把經過仿射變換不變的性質，稱為圖形的仿射性質。

將仿射變換中的條件繼續放寬，不僅允許圖形的形狀大小可以改變，而且允許平行直線可以不再保持，但要求點仍舊變成點，直線仍舊變成直線，點在線上仍舊變成點在線上。這樣的變換我們稱之為射影變換。若兩個圖形可以透過射影變換聯絡起來，則稱這兩個圖形射影等價。在射影幾何中，所有的橢圓、雙曲線和拋物線全都是射影等價的。經過射影變換不變的性質叫做圖形的射影性質，射影幾何學主要研究的就是圖形的射影性質。

圖3. 射影變換示例。將一個球射影到一個平面上有多種方法，視燈泡位置的不同可以得到不同的射影結果。但由於在射影的過程中將某一維度的資訊丟失，因此射影變換是不可逆的。(From wiki: Projective geometry)

若我們將變換條件進一步放寬，我們就會得到拓撲幾何。這時我們將放棄任何苛刻的要求，只要這個變換是一對一的，且相互靠近的點在變換前後仍然相互靠近就可以，這種變換我們就稱之為拓撲變換，也叫同胚變換，用數學語言描述就是一個一 一的連續且逆也連續的變換（或對映）。

想象一張彈性極好的橡皮薄膜，拓撲變換允許將薄膜任意的扭曲、彎折、拉伸、壓縮等等，只要不撕破它，且不使其粘合即可。基於此，我們形象地把這種變換稱為橡皮變形。

類似於其他的幾何學，我們將可以透過拓撲變換聯絡起來的兩個圖形稱之為拓撲等價。在拓撲變換下不變的性質稱為圖形的拓撲性質。拓撲學主要研究的就是圖形的拓撲性質，也叫做拓撲不變數。

圖4. 拓撲變換：杯子到甜甜圈的連續變形（From wiki: Topology）

拓撲學是人一樣的肢體不同的表達，像是舞蹈藝術的語言，不同的肢體去表達數與量的幾何圖形，數與量的語言形式，而本性未變。比喻說位置的移動，從不同的角度與方向去展示，誇張，放大，縮小，變形，扭曲的不圖條形，重複式交疊出的形態視覺。它給人不同程度的的感覺，在物理學上表一達不同的作用，在數學上表示相同的意向，這就是不變的，象徵意義的拓樸學。就是人的肢體語言，去展示不同的思維模式，表達出不同的動作，而人的本質沒變。一個人可以舞蹈，十個人也可以合舞。可排成一對，也可以做成幾組。這就是形變，拓樸學的形變，是量化寬鬆的指數，不是質變。上面有圖文真相靠譜回答，我用文字旁白自我不足的認識。且當莫比烏斯圈的隨想。不一定是全面的，但大體方式，方向是理解不錯的。MC

拓撲不變數，在拓撲學之中，並不拘泥於一個拓撲空間所包含的體積、面積、長度等等量，而是在乎這個拓撲空間所擁有的內稟性質，如虧格(虧數)云云。而所謂的內稟性質是指那些與度量無關的各種量，也就是說，這些量是不能使用因次分析來表達出的。

　　而拓撲學的也因為這種不在乎那些跟大小、位置、形狀的性質而被稱做一門“定性”的科學。

　　而拓撲不變數的定義是：兩個同構的拓撲空間之間相同的內秉性質。

　　舉個例子，一個拓撲空間的連通性，假如一個拓撲空間不能被描述成兩個非空不相交開集的聯集，我們就叫這個拓撲空間為連通空間，而我們現在將這個連通空間隨意伸縮、平移或甚至變形，這個拓撲空間是連通空間的性質是不會變的，我們就稱拓撲空間的連通性是一個拓樸不變數。

　　白話地說，以簡易凡，假設我們現在有一顆球，但我們不能限制這顆球中的任何一點不能畫一條連續的線到同在這顆球中的任何另外一點，那麼，我們稱做這個球有連通性。而現在，我們將這顆球拉長、亂丟、甚至把他在拉長之後打成一個結，但只要我們不做會讓這顆球破洞或被壓爆的動作，而依然地，我們不能限制這顆變形球裡頭的任何一點不能畫一條連續的線到同在這顆球中的任何一點，那麼，我們就稱這個連通性是一種拓撲不變數。

　　學術點說這些拉長打結之類的動作：一個操作，而這個操作使得這個拓撲空間和被操作過後的拓撲空間是同構的。

　　當然，這裡就先不提區域性連通性的概念。

　　著名的咖啡杯和甜甜圈對拓撲學數學家是一樣的，就是上文提過的虧數概念，像將咖啡杯扭曲成一個甜甜圈就是一個典型的拓撲學上的變形，而這個虧數，不嚴謹的說，也就是它有幾個洞，就是一個典型的拓撲不變數。

　　經典的拓撲不變數還有著名的尤拉示性數等等。

拓撲表現的就是將物體連續形變之後保持不變的性質。

這裡的“不變”，指的是在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下，不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。

舉個形象的例子：

如果所有圖形都是用橡皮做成的，我們就能將許多圖形進行拓撲變換。例如一個圓圈，可以變成一個方圈、一個三角圈。但是一個圓圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數字“8”。因為不把圈上的兩個點重合在一起，圈就不會變成8。

再舉個現實生活中的例子：計算機網路的拓撲結構，就是是引用拓撲的概念。

網路拓撲結構

在這些結構裡，各種物理裝置，無論是伺服器還是路由器，計算機還是交換機，都會經過變形抽象為一個個“點”，彼此連線的線路、傳輸介質則被抽象為一條條“線”，拓撲結構就是對這些“點”和“線”的關係的視覺化呈現。

以上圖形由億圖圖示繪製而成