《點集拓撲》課程是一門現代數學基礎課程，屬數學與應用數學專業的理論課。是數學與應用數學專業的主幹課。點集拓撲學（Point Set Topology），有時也被稱為一般拓撲學（General Topology），是數學的拓撲學的一個分支。它研究拓撲空間以及定義在其上的數學構造的基本性質。這一分支起源於以下幾個領域：對實數軸上點集的細緻研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已經成文化了。透過這種可以為所有數學分支適用的表述形式，點集拓撲學基本上抓住了所有的對連續性的直觀認識。

代數拓撲(Algebraic topology)是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。它的前身是組合拓撲，組合拓撲的奠基人是H.龐加萊，1895年他建立了單純同調群即可三角剖分的空間（多面體）的同調群，引進了重要的拓撲不變數貝蒂數及撓係數。J.W.亞歷山大在1915年證明了貝蒂數和撓係數是同胚不變數，單純同調群是同胚不變數。同時龐加萊還引進了復形的基本群。1904年他給出了龐加萊猜想，即每個單連通的閉的可定向的三維流形同胚於三維球面，這個猜想後被推廣為每個單連通的閉的n維流形，如果具有n維球S的貝蒂數和撓係數，它就同胚於S。龐加萊猜想尚未被證明。推廣了的龐加萊猜想，對於n≥5的情形，為S.斯梅爾於1961年證明，對n＝4的情形，為M.H.弗裡德曼於1981年所證明。龐加萊是企圖利用同調群和基本群對三維流形進行同胚分類，但亞歷山大在1919年指出存在不同胚的三維流形，它們有同構的同調群和基本群。20世紀20年代S.萊夫謝茨和亞歷山大發展了同調論，得到了霍普夫不變數，證明了萊夫謝茨不動點定理，亞歷山大對偶定理。20世紀初引進了一般空間的同調群。1932年E.切赫上同調群產生。1944年S.艾倫伯格定義了奇異同調群且用艾倫伯格-斯廷羅德公理把各種同調群統一起來，建立了同調理論。在同倫論方面W.赫維茨定義了同倫群。J.H.C.懷特赫德把研究物件推廣到CW復形。1947年N.E.斯廷羅德在障礙理論中定義了斯廷羅德平方運算。1951年J.-P.塞爾對纖維叢引進了譜序列，在同倫群的計算方面取得不少成就。此外紐結問題也進一步發展成為思維合痕和嵌入問題。