1、 考慮到一個函式可以展開成一個多項式的和，可惜多項式並不能直觀的表示週期函式，由於正餘弦函式是週期函式，可以考慮任意一個週期函式能否表示成為一系列正餘弦函式的和。假設可以，不失一般性，於是得到：

f(t)= A0+∑(n=1,∞) Ansin(nωt+Φn)

2、 將後面的正弦函式展開：

Ansin(nωt+Φn)=AnsinΦncosnωt+AncosΦnsinnωt

令 a0/2 =A0,an = AnsinΦn,bn=AncosΦn,x=ωt,可得

f(x)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnx+bnsinnx)

對兩邊在區間[-π,π]積分，得

ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +ƒ(-π->π)(∑(n=1,∞) (ancosnx+bnsinnx))dx

ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑(1 -> ∞) (ƒ(-π->π)(ancosnx+bnsinnx)dx)

ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]

ƒ(-π->π) f(x)dx =a0/2 * 2π +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]

當n=0時

ƒ(-π->π) f(x)dx = ao * π

於是我們求出了a0的值。

ao = ƒ(-π->π) f(x)dx /π

三角函式系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……} -------------- ⑴

在區間[-π,π]上正交，就是指在三角函式系⑴中任何不同的兩個函式的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，即

∫[-π->π]cosnxdx=0

∫[-π->π]sinnxdx=0

∫[-π->π]sinkxcosnxdx=0

∫[-π->π]coskxcosnxdx=0

∫[-π->π]sinkxsinnxdx=0

(k,n=1,2,3.....,k≠n)

下面利用三角函式正交性求出an,在原函式兩端乘以cos(nx)