首先還是想把5個最好玩的拓撲問題丟擲來：

假設所有物體都是用橡膠做成的，可以隨意地拉伸、擠壓、彎曲，但不允許切斷、粘連等任何改變圖形本質結構的操作。1. 能否把左圖連續地變形為右圖？2. 能否把左圖連續地變形為右圖？3. 左圖所示的立體圖形表面畫有一個圓。能否透過連續變換，把這個圓變到右圖所示的位置？4. 在一個輪胎的表面上打一個洞。能否透過連續變換，把這個輪胎的內表面翻到外面來？5. 能否把左圖連續地變形為右圖？

1. 能否把左圖連續地變為右圖？

答案是可以的，如下圖所示：

這意味著，假如人類的身體可以像橡膠人一樣任意變形，那麼用兩手的拇指和食指做成兩個套著的圓環之後，我們可以不放開手指，把圓環給解開來。 Algorithmic and Computer Methods for Three-Manifolds 一書裡畫了一張非常漂亮的示意圖：

更加有趣的是，如果僅僅是手腕上多了一塊手錶，上述方案就不能得逞了：

2. 能否把左圖連續地變為右圖？

答案是可以的，如下圖所示：

3. 左圖所示的立體圖形表面畫有一個圓。能否透過連續變換，把這個圓變到右圖所示的位置？

答案是可以的，如下圖所示：

4. 在一個輪胎的表面上打一個洞。能否透過連續變換，把這個輪胎的內表面翻到外面來？

答案是可以的。首先，作出如下圖所示的連續變換。可以看到，一個表面有洞的輪胎本質上等於兩個粘在一起的紙圈！不過，注意紙圈 1 和紙圈 2 的地位不太一樣：一個是白色的面（即最初輪胎的內表面）衝外，一個是陰影面（即最初輪胎的外表面）衝外。現在，把紙圈 2 當成原來的紙圈 1 ，把紙圈 1 當成原來的紙圈 2 ，倒著把它們變回輪胎形，輪胎的內外表面也就顛倒過來了。

有趣的是，把輪胎的內表面翻出來之後，輪胎上的“經線”和“緯線”（姑且這麼叫吧）也將會顛倒過來：

Wikipedia 上有一個巨帥無比的動畫，直接展示出了把一個圓環面的內表面翻到外面來的過程。此動畫看著非常上癮，小心一看就是 10 分鐘！

5. 能否把左圖連續地變為右圖？

答案是可以的。首先，作出如下圖所示的連續變換，於是就變成了問題 1 中的圖 (a) 。再利用問題 1 的辦法，即可變出我們想要的形狀來。

關於拓撲，一直都是數學領域最具腦洞的分支，江湖上還流傳著這麼一個傳說：

拓撲就是揉橡皮泥，研究被各種揉過的各種橡皮泥，以及研究怎麼揉橡皮泥。

先不說了，超模君要去揉橡皮泥了，說不定明年的諾貝爾、菲爾茲、吉尼斯、格萊美、奧斯卡、勞倫斯、普立策、福布斯…… 的頒獎典禮能觀看到。。。

拓撲學是19世紀發展起來的一個重要的幾何分支。是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。

拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念的學科。