如果兩個平面相互垂直，那麼在一個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另一個平面。 已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。求證：OP⊥β。
證明：過O在β內作OQ⊥l，則由二面角知識可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。 ∵α⊥β ∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β ∴OP⊥β
拓展資料
直線與平面垂直定義：如果一條直線與一個平面內的任意一條直線都垂直，就說這條直線與此平面互相垂直。是將“三維”問題轉化為“二維”解決是一種重要的立體幾何數學思想方法。在處理實際問題過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的垂直關係，再從結論入手分析所要證明的重要垂直關係，從而架起已知與未知的“橋樑”
性質定理
性質定理1：如果一條直線垂直於一個平面，那麼該直線垂直於平面內的所有直線。
性質定理2：經過空間內一點，有且只有一條直線垂直已知平面。
性質定理3：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直於一個平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面。
性質定理4：垂直於同一平面的兩條直線平行。
推論：空間內如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線平行。（該推論意味著平行線的傳遞性不僅在平面幾何上，在空間幾何上也成立。）
定理1證明
很容易由線面垂直的定義得到，若不垂直於所有直線，則不可能垂直平面。
定理2證明
已知平面α和一點P，求證過P垂直於α的直線有且只有一條。
當P在平面外時，假設過P有兩條直線m、n都與α垂直，不妨設垂足為M、N。由於m∩n=P，那麼m和n確定一個平面β。不難證明α∩β=MN。
∵m⊥α，n⊥α
∴m⊥MN，n⊥MN。這樣一來，在β內就有PM、PN與MN都垂直，與平面內的垂線公理（其實是定理，因為可以依靠歐式幾何的公理證明）矛盾。
如果兩個平面相互垂直，那麼在一個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另一個平面。 已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。求證：OP⊥β。
證明：過O在β內作OQ⊥l，則由二面角知識可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。 ∵α⊥β ∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β ∴OP⊥β
拓展資料
直線與平面垂直定義：如果一條直線與一個平面內的任意一條直線都垂直，就說這條直線與此平面互相垂直。是將“三維”問題轉化為“二維”解決是一種重要的立體幾何數學思想方法。在處理實際問題過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的垂直關係，再從結論入手分析所要證明的重要垂直關係，從而架起已知與未知的“橋樑”
性質定理
性質定理1：如果一條直線垂直於一個平面，那麼該直線垂直於平面內的所有直線。
性質定理2：經過空間內一點，有且只有一條直線垂直已知平面。
性質定理3：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直於一個平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面。
性質定理4：垂直於同一平面的兩條直線平行。
推論：空間內如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線平行。（該推論意味著平行線的傳遞性不僅在平面幾何上，在空間幾何上也成立。）
定理1證明
很容易由線面垂直的定義得到，若不垂直於所有直線，則不可能垂直平面。
定理2證明
已知平面α和一點P，求證過P垂直於α的直線有且只有一條。
當P在平面外時，假設過P有兩條直線m、n都與α垂直，不妨設垂足為M、N。由於m∩n=P，那麼m和n確定一個平面β。不難證明α∩β=MN。
∵m⊥α，n⊥α
∴m⊥MN，n⊥MN。這樣一來，在β內就有PM、PN與MN都垂直，與平面內的垂線公理（其實是定理，因為可以依靠歐式幾何的公理證明）矛盾。