數學是什麼？

世間的萬事萬物都有數與形這兩個側面，數學作為研究現實世界中的數量關係和空間形式的科學，是剔除了物質的其它具體特性，僅僅從數與形的角度來研究整個世界的。數學的作用和地位，現在看來，概括起來可以有以下幾條：

1、數學是一類常青的知識

作為小學、中學到大學必修的重要課程，數學是人類必不可少的知識，這一點不會有人疑問。人類的許多發現就像過眼煙雲，很多學科是從推翻前人的結論而建立新的理論的。

古往今來數學的發展，不是後人摧毀前人的成果，而是每一代的數學家都在原有建築的基礎上，再新增一層新的建築。歐幾里得是二千多年以前的古希臘數學家，然而，以他命名的歐幾里得幾何至今還在發揮著重要的作用，其中的勾股定理，不僅沒有被人認為老掉了牙而不屑一顧，相反還被人稱為千古第一定理，一直被高度頌揚、反覆應用，就充分地說明了這一點。

2、數學是一種科學的語言

伽利略曾說過：“大自然這本書是用數學語言寫成的。……除非你首先學懂了它的語言，……，否則這本書是無法讀懂的。”

數學這種科學的語言，是十分精確的，這是數學這門學科的特點。同時，這種語言又是世界通用的。加減乘除，乘方開方，指數對數，微分積分，常數等等，這些數學語言和符號一開始雖然可能五花八門、各有千秋，但早已統一為一個固定的樣式，世界各地通用，對我們的掌握和使用是十分方便的。

3、數學是一個有力的工具

數學在人們的日常生活及生產中隨時隨地發揮著重要的作用，已經是有目共睹。在現代，數學作為現代化建設的重要武器，在很多重要的領域中更起著關鍵性、甚至決定性作用。我們國家在兩彈一星研製中的出色成就，凝聚了不少優秀數學家的心血，就是一個突出的例子。

4、數學是一個共同的基礎

現在，不僅在自然科學、技術科學中，而且在經濟科學、管理科學，甚至人文、社會科學中，為了準確和定量地考慮問題，得到有充分根據的規律性認識，數學都成了必備的重要基礎。離開了數學的支撐，有關的科學已很難取得長足的進步，很多學科（特別是很多自然科學學科）近年來甚至已經出現了數學化的趨勢。

5、數學是一門重要的科學

數學忽略了物質的具體形態和屬性，純粹從數量關係和空間形式的角度來研究現實世界，它和哲學類似，具有超越具體學科、普遍適用的特徵，對所有的學科都有指導性的意義。現在的數學科學已構成包括純粹數學及應用數學內含的眾多分支學科和許多新興交叉學科的龐大的科學體系。

6、數學是一門關鍵的技術

我們在醫院裡看到的CT這一先進的技術就是一個突出的例子。它的本質，是利用X光從各個不同角度所拍攝的眾多平面照片，恢復出體內物體（如腫瘤）的立體形狀，這完全是一個數學問題。這樣，數學的內涵物化為計算機的軟體及硬體，就成為技術的一個重要組成部分與關鍵，從而可以直接地轉化為生產力。現在，“高技術本質上是一種數學技術”的說法已為愈來愈多的人們所認同。

7、數學是一種先進的文化

數學是人類文明的重要基礎。它的產生和發展伴隨著人類文明的程序，並在其中一直起著重要的推動作用，佔有舉足輕重的地位。

數學過去是、現在是、將來也將是一種先進的文化，它帶領著、推動著、影響著人類的文明程序，深刻地改變著世界的面貌，也改變著人類本身的思維能力和認識水平，改變著人類的本身。

綜上所述，長期以來，在人們認識世界和改造世界的過程中，數學作為一種精確的語言和一個有力的工具，一直髮揮著舉足輕重的作用。

尤其在當代，數學作為經濟建設的重要武器，作為各門科學的重要基礎，作為人類文明的重要支柱，在很多領域中已起著關鍵性、甚至決定性作用，數學技術已成為高技術的突出標誌和不可或缺的組成部分，數學的影響和作用可以說是無處不在，其重要性也已為越來越多的人所認同。這樣，不僅在中、小學，而且在大學的很多系科中，數學都位列最重要的必修課程，就是理所當然的事了。

《最後的數學問題》作者馬里奧·利維奧（Mario Livio ），哈勃太空望遠鏡科學研究所的天體物理學家，科學和數學科普作家，美國科學促進協會會員，卡內基基金會“世紀優秀教授”，皮亞諾獎和國際畢達哥拉斯數學暢銷書獎得主。

該書系統說明，數學是人類的發明還是發現？數學無處不在、無所不能的威力從何而來？本書講述了數學概念的演化過程，從哲學、歷史、文化角度探討了數學的本質，揭示了數學與物質世界、與人類思維之間的微妙關係，討論了困惑幾代思想家的重大問題，講述了數學、哲學和物理學巨匠們的生活經歷與思想，是一本有趣的數學思想史著作。

如果你認為弄清數學究竟是一種“發現”還是一種“發明”無關緊要，那麼請想想這兩個詞之間的差異在下面這個問題裡的深長意味：“上帝是一種發現還是一種發明？”或者另一個更刺激的問題：“上帝是按自己的模樣創造了人，還是人類按自己的形象創造了上帝？”

在本書中，探尋了這一問題和其他問題的答案。回顧歷史上以及當今最偉大的數學家、物理學家、哲學家、認知學家和語言學家在各自領域中做出的卓越貢獻，以及在其研究過程中體現出的遠見卓識。書中還要回顧一些近代思想家們的觀點、警句和他們對相關問題持有的保留意見。讓我們先以早期哲學家們的某些開創性觀點為起點，開始這段激動人心的旅程吧。

數學是發明與發現的精妙融合。一般說來概念是發明的產物，而即便概念之間所有正確的關係在被發現之前就已經存在，人們依然需要對研究哪些關係進行選擇。

精確性和確定性是數學陳述的鮮明標誌，這是公認的。但對於“數學是發明還是發現”這個問題，人們就有了分歧，而這種爭論本該是哲學或政治領域的特質。“發現”這種說法暗示了在真實或超自然的世間存在著“前世”，而“發明”這種說法涉及人類心智，無論指個人的心智，還是指整個人類的心智。這個問題是一個跨學科的課題，涵蓋了哲學、數學、認知科學乃至人類學，絕不是數學能獨立解決的——至少不能直接解決。

有的學者是柏拉圖主義者（發現論者），有的學者是形式主義者（發明論者）。也有觀點認為這個問題本身就是個偽命題，數學既是發現，又是發明；一般情況，概念是發明的，定理是發現的。這個回答的最後，會以歐幾里得的黃金分割率為例，來闡釋為什麼說數學是發明和發現的結合。

觀點的一方：數學是發現

1989年，法國數學家阿蘭·孔涅（Alain Connes），這位贏得了數學界最負盛名的兩項榮譽（1982年的菲爾茲獎和2001年的克拉夫德獎）的數學家清晰地表達了自己的觀點。

知名而多產的數學科普作家馬丁·加德納（Martin Gardner）也支援“數學是一種發現”的觀點。對他來說，無論人類認識與否，數與數學都是獨立於人類認知存在的，這一點毫無疑問。他曾風趣地評論：“如果森林中有2只恐龍魚另外2只恐龍相遇，不管周圍是否有人類在觀察，那兒都會有4只恐龍。但是，愚蠢的熊卻不會知道。”正如孔涅所強調的，“數學是一種發現”（這也是柏拉圖的看法）的支持者認為，一旦人們理解了某個數學概念，如自然數1,2,3,4，…，那麼就會面臨一些無可爭議的事實，如

，這與人們如何看待它們的關係並無關聯。至少，這會給我們留下一種印象：我們接觸的就是存在的真實世界。

觀點的另一方：數學是發明

英國數學家邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah，他在1966年獲得了菲爾茲獎，在2004年獲得阿貝爾獎）寫道：阿蒂亞確信：“透過理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人類創造了數學。” 語言學家喬治·萊考夫（George Lakoff）和心理學家拉斐爾·努涅斯（Rafael Núez）也持同樣的觀點。二人在合著的《數學從哪裡來》一書中總結道：“數學是人類天性的一部分，它源於我們的身體、大腦，以及我們在這個世界中每天的經歷。”

阿蒂亞、萊考夫和努涅斯的觀點又引出了另一個有趣的問題：如果數學完全是人類發明，那麼它真的具有普遍性嗎？想象一下，假如外星文明真的存在，它們是否也會發明出與我們相同的數學呢？

卡爾·薩根（Carl Sagan，1934-1996）曾認為，答案是肯定的。當他在《宇宙》一書中探討智慧文明將哪種訊息傳播到外空間時，薩根提出：“任何自然的物理程序都不可能只傳播僅包含質數的無線電資訊。假設接收到這樣的資訊，我們就能推斷出那裡存在一個至少喜歡質數的文明。”但這如何確定呢？

數學物理學家史蒂芬·沃爾夫拉姆（Stephen Wolfram）在《一門新科學》一書中提到，他認為這種稱為“人類的數學”的智慧，也許僅代表盛開在數學之樹上的眾多不同“花朵”中的一朵。假如不使用基於數學公式的法則來描繪自然的話，人類也可以使用其他型別的法則，比如，在簡單的計算機程式中所體現的法則。

如今，人們透過觀察發現，在一些植物葉片的排列分佈方式（術語叫“葉序”）和部分鋁合金晶體結構中，都存在斐波那契數列和黃金分割率的影子。

為什麼把歐幾里得定義的黃金分割概念視為一種發明？這是因為歐幾里得憑藉富有創意的思想，把這個比例挑選了出來，進行了詳細的分析，併成功地吸引了其他數學家的注意。不過值得注意的是，古代中國沒有明確闡釋黃金分割率的概念，目前發現的中國古代數學文獻中基本上沒有對它的具體描述。同樣，古印度也沒有發明黃金分割率的概念，只是在研究三角學的一些定理時隱約提到了這個比例。

許多例子可以證明，“數學是發現還是發明”這個問題其實是一個偽命題。數學是發明和發現的結合！作為一種概念，歐幾里得幾何學中的公理是發明，正如國際象棋的規則是人類的發明一樣。公理被人類發明的各種概念不斷補充，如三角形、平行四邊形、橢圓、黃金分割率等。但從總體而言，歐幾里得的幾何學定理又都是發現，它們是連線不同概念的橋樑。在某些情況下，證明催生了定理——數學家仔細研究什麼是能證明的，並從中總結、推演出定理。還有另一種情況，正如阿基米德在《方法論》中所描述的，數學家首先找出自己感興趣的某個問題的答案，之後再尋找證明方法。

一般情況下，概念是被髮明的。比如，質數這一基本概念是被數學家發明的，但是，關於質數的相關定理卻是人們的發現。在古巴比倫、古埃及和古代中國，當時的數學家們儘管已經發展出了先進的數學理論，但他們從未提出過質數的概念。我們能說，他們只是沒有“發現”質數嗎？這就好比說，英國沒有“發現”唯一的、彙編成法典的憲章。正如一個國家在沒有憲法時也能正常運轉一樣，沒有質數的概念，複雜的數學也能不斷髮展。

在歷史上，數學的確也是這樣發展的！是什麼原因促使古希臘人發明了“公理”和“質數”等概念？我們無法確定。但我們可以猜想，這要歸功於他們堅持不懈地探索宇宙基本結構的努力。質數是數的基石，正如原子是物質構成的基礎。同樣，公理猶如一口源泉，所有的幾何真理都從中源源不斷地噴湧而出。正十二面體被視為代表了整個宇宙，而正是黃金分割率的概念引入了這一象徵。

筆者認為，所有的數學概念都是發明（包括我們習以為常的自然數1、2、3），所有的數學公式都是發現（極端數學家認為所有數學都是真實的存在於宇宙之中）。數學理論中概念是發明的規定的，數學公式是發現。

參考文獻：

1.李大潛，復旦大學教授，學習數學究竟是為了什麼？看這個回答就別再陷入題海了.

2. 環球科學,數學是發明還是發現的？

數學到底是什麼？誰說清楚過？

我認為，數學是數理在空間上的自然規律。

第一，什麼是數？數是空間關係上具有運算性質的元素，目前分為實數與虛數。

有數學家認為，上帝創造了0和1，其它是人為的。事實上，人類還沒有認請0和1，但在規律的運用中，又經常運用到0和1。

數學家們前赴後繼地對數理進行研究，又在素數面前總是一一敗下陣來，其原因就是沒有搞清楚0和1的關係。

這裡先給出一個素數表示式吧，若p是素數，2^2p一3是素數，別小看這個關係式，數學家們努力了一代又一代，夢想得到的東西。

其中出現了2和3兩個數，如果說0和1是上帝和夫人，2與3則是上帝的女兒和兒子，因此這四個數的空間關係就構成了我們的世界。

無理數無理嗎？不是，那是上帝的特徵，對應的是空間關係。

虛數是什麼？虛數是與實數對應的空間，是空間位移互補的方向，2^ⅰ=-1，ⅰ=0，0是指時間，-1則是空間向量。

沒有搞清楚0和1，理解0和負1是不可你的。

再給你一個素數規律，p是素數，(2^P一2)/P。

今天給出二個素數規律，就那麼簡單，你可以去驗證，千萬別去證明，因為人們暫時看不懂證明，知道有這樣的關係，你也很幸運。

祝大家好運。

提到數學，很多人都是頭大。造成這樣的困擾是數學教學的方式出現了偏差。我無意去寫一篇批判數學教育的文章。我想說的是，數學是個求索的過程，並不是一蹴而就，不是某個人天生就產生了個某個精妙絕倫的想法。幾個世紀以來，世人一直認為是牛頓獨立地發明了微積分，後來發現一個註記還原了歷史的真實，牛頓寫道：“費馬先生的畫切線的方法的基礎上發展了微積分”。在我的課上，我希望把數學這種探索的過程融合到學生的學習過程中。

透過讓學生自己去研究如下的數列：

1+3

1+3+5

1+3+5+7

1+3+5+7+9

讓他們透過擺石頭的方法看看這些數列的規律。

他們畫出了各種各樣的圖形，只有一個學生在畫1+3，1+3+5過程中，畫出了前面兩幅圖，後面的他也沒有把這個規律延續下去。我存在的意義就是，順著他的思路，引導著他繼續著他原來的規律，最終，形成如上圖所示的一系列圖形。看著這些圖形，正好是完美的正方形。由此引入“平方數”概念。這是個讓他們探索的過程，我們的祖先也是在這樣的探索過程中成長起來的。

如題，在324、897、211、247、546中，哪些數是平方數。

看到這個題，你會用什麼方法來確定這裡哪些數是平方數？

學生們，首先是透過一個個驗算：2^2=4,3^2=9,4^2=16...18^2=324。他們由此確定了324是平方數。接著，我問那897為什麼不是平方數呢？他們接著一個數一個數去驗算，當他們驗算完，確認了找不到一個整數的平方等於897，由此，確認897不是平方數。

順著他們的思路，我給他們一個想法：“看到897靠近900，900等於30的平方，29的平方841。841<897<900。897夾在兩個相鄰的平方數之間，因此897必然不是個平方數。這其實是夾逼定理的應用，當然夾逼定理是應用在極限的求解過程中，我把它應用於此。”

很好，我們學會了一個新的思路，我們來看看，順著這個思路，我們來看看下面這道題。

623781238這個數是平方數麼？

他們學到了一個新的思路，他們幾個迅速的應用這個方式開始思考。

他們算了

30000^2=900000000,25000^2=625,000,000,24999^2=624,950,001,

24998^2=624,900,004

他們算著算著覺得崩潰了，數字太大了。其中，有個學生，他坐在那一直沒有動手算。

“你為什麼不計算呢？”我問。

“因為數字太大了。”他堅定的答道。

我暗自在想，難道他已經知道了更優的方法了麼，於是我問道：“那你打算怎麼辦呢？”

“我在考慮能不能只考慮末位數。”他答道。

我很驚喜，他竟然想到只觀察一位數，我暗自為他感到高興，我問：“說說你的想法。”

於是他答道：”我發現沒有哪兩個相同的數相乘個位數為8，所以這個數不是平方數“

很棒。在他說到只觀察末位數的時候，另一個學生受到他的啟發注意到了這個規律。

事實上，

1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,5^2=25,6^2=36,7^2=49,8^2=64,9^2=81,

10^2=100。由此可知，平方數的個位只能是”0”，“1","4","5","6","9"。

這並不是我直接告訴他們的結論，是他們自己探索的過程。