洛倫茲變換最早由荷蘭物理學家洛倫茲最早提出，主要目的是為了使麥克斯韋方程組在所有的慣性系中都能保持不變。在狹義相對論誕生之前，人們認為時間和空間都是絕對的。在真空的宇宙空間之中，存在著看不見的“以太”，這是絕對靜止的參照系。以太相對於絕對空間靜止，包括地球在內的宇宙萬物都在以太中運動。於是，人們想辦法來測量以太的存在，其中最著名的就是邁克爾遜-莫雷實驗。

美國物理學家邁克爾遜和莫雷設計了一個精密的實驗來驗證以太，如上圖所示。光線照射到分光鏡上，被分成兩束相互垂直的光。按照絕對時空觀，地球以速度v在以太中運動，“以太風”朝向地球吹來。如果光迎著以太風方向行進，那麼，這束光的速度為光速c和以太風速度v之差，即c-v，而被反射之後光的速度變為c+v。另一束垂直於地球運動方向的光，其速度為√(c^2-v^2)，被反射之後速度保持不變。因此，這兩束互相垂直的光到達觀測屏存在一個時間差：Δt=l/(c-v)+l/(c+v)-2l/√(c^2-v^2)≈lv^2/c^3。如果把干涉儀水平轉動90度，則兩束光形成的干涉條紋將會產生移動：Δl=2cΔt≈2lv^2/c^2。

然而，在實驗過程中，干涉條紋並沒有產生任何的移動，這與絕對時空觀產生了嚴重的矛盾。為了保留以太的概念，洛倫茲認為，物體在運動方向上會產生尺縮效應：L=l√(1-v^2/c^2)。從而Δt=L/(c-v)+L/(c+v)-2l/√(c^2-v^2)=0。由於尺縮效應，兩束光到達觀測屏不存在時間差，所以也就測不出干涉條紋的移動。

然而，對於這種現象，愛因斯坦提出了完全不同的看法。他認為，以太和絕對時空觀都要被拋棄，真正保持不變的是光速，這樣就能很容易地解釋實驗現象。事實上，從麥克斯韋方程可以直接匯出光速不變性。基於光速不變原理以及相對性原理，愛因斯坦創立了狹義相對論，其中保留了洛倫茲變換γ=1/√(1-v^2/c^2)，並給出了正確的物理解釋。雖然洛倫茲變換是由洛倫茲提出，但他並沒有認識到相對性原理和光速不變原理，只是為了修補已經岌岌可危的絕對時空觀。

從洛倫茲變換可以看到，當v→c時，(1-v^2/c^2)→0，γ→∞。因此，當速度趨近於光速時，狹義相對論的效應非常顯著。另一方面，當v<<c時，(1-v^2/c^2)→1，γ→1。因此，當速度遠小於光速時，洛倫茲變換可退化為伽利略變換。

本文適合有高中以上數學與物理知識者進來看看。但依然還是有些抽象的。看過的人要麼覺得狹義相對論原來就這麼簡單呀，要麼看完以後依然一頭霧水。我在這裡儘量做到最簡明與本質的推導。

言歸正傳。

當我們坐在一列高速執行的火車上，看到身邊的人坐著不動，或者在車廂裡頭走動，這是我們以火車為相對靜止的參考系。如果以火車外的地面為相對靜止的參考系，觀察者會看到列車上的乘客與火車一樣都在高速運動。

這意味著，存在相對運動的不同參考系下的視角是不同的，測得物理量有差異。這是顯然的。但同一事件在不同參考系下的距離與時間等物理測量值，其相互之間有什麼關係呢？

我們假設參考系K"相對參考系K運動。不妨以K係為靜止參考系，K"為運動參考系。為了簡化問題，我們又不妨設K"系與K系只在X軸上有相對運動，不妨設其速度為v（正值表示向右）。又設K繫上的某一事件的四維時空座標為（x，y，z，t），K"上該事件的四維時空座標為（x"，y"，z"，t"），根據伽利略變換，兩者座標之間的代換關係表述如下：

x"=x－vt 　y"=y 　z"=z　 t"=t

或者，也可以反過來表述為：

x=x"+vt"　 y=y"　 z=z"　 t=t"

這是一個簡單得不能再簡單的關係了。說的是：K"系X軸上的座標相當於K繫上的座標減去K"系與其相對運動了的距離（s=vt），其他座標則保持不變。

這樣的簡單的線性座標變換，實際上是我們在牛頓力學中使用慣了的。但問題是，這種伽利略變換與光速不變原理有矛盾。麥克斯韋爾方程組與邁克爾遜-莫雷實驗都強烈支援真空中光速各向同性而無法被參考系的速度疊加的光速不變原理。

而伽利略變換代表了物理學最基礎的奠基性原理相對性原理，該原理難道可以被放棄嗎？顯然不能。因為我們測量任何事物都必須建立在相對某一特定參考系上才有意義。

假設起初，K"系與K系座標原點重合，有一束光從它們的原點處朝X軸正方向射出，同時K"系以速度V向右（X軸正方向）相對K系運動。

不妨設光在K繫上的座標為（X，Y，Z，T），在K"繫上的座標為（X"，Y"，Z"，T"）。

設光速在兩個參考系中不變，都為c，於是就有：

X=cT;X"=cT".

若按照伽利略變換，又有：

X"=X－VT 或 X=X"+VT"

由此我們容易發現，光速不變原理與伽利略變換是有矛盾的（只要將X=cT及X"=cT"代入上述伽利略變換就知道了）。

怎麼解決這個矛盾呢？我們用洛倫茲變換來代替伽利略變換。我們用λ來表示洛倫茲因子，此時：

X"=λ(X－VT) ① 或 X=λ(X"+VT") ②

顯然當λ=1時，上述就是伽利略變換。也就是說我們在牛頓力學裡假定了絕對時空，因此不同參考系之間的尺度是一樣的，空間的量度與時間的量度不會因運動的變化而變化。但這種假設其實也是未經證明的。也許時空的量度是會隨運動的變化而變化的，所以我們不妨設參考系之間的這個量度因子的值未必是1，但具體是什麼呢？我們尚不知道，但不妨假設為λ。然後我們可求出λ。

將 ① × ②，於是有：

X"X=λ²(X－VT)(X"+VT")

再將X=cT及X"=cT"代入上式（請讀者親自動手拿筆算算），求得：

λ＝1/√1-v²/c²

這樣我們就求出了洛倫茲因子，這意味著只要不同參考系之間的時空量度的比率不是1，而是由洛倫茲因子來協變或變換的，那麼光速不變原理是可以與相對性原理構成邏輯自洽而協調一致的。

於是經過將洛倫茲因子代入上述含有λ因子的伽利略變換，我們可以用下述洛倫茲變換代替伽利略變換：

或

由此，我們會發現運動參考系相對靜止參考系有動鍾變慢與尺度收縮等相對論性效應，在此就不做贅述了。相對論性效應網路上各種科普介紹多如牛毛，感興趣者可以自己去查閱。

一般比較少見介紹洛倫茲因子為什麼要引入，怎麼得到，以及其物理意義究竟是什麼的具體介紹與闡釋。從數學上來說，其實並不困難；難的是其抽象的物理意義如何理解。這也是為什麼說是愛因斯坦而不是洛倫茲發現了狹義相對論。洛倫茲事實上為了數學上的邏輯自洽的緣故，已經先於愛因斯坦湊出了洛倫茲變換的數學形式，但他本人也不明白其物理含義究竟是什麼。

什麼是洛倫茲因子的物理意義呢？不同參考系之間其實時空尺度是不同的（牛頓力學假設為都一樣），這就像不同貨幣之間存在著匯率換算一樣。洛倫茲因子就是狹義相對論中的時空度規，它是運動參考系與靜止參考系之間的時空度量的換算因子，要注意這是一個變數不是一個常量；這就好像根據一個公式，隨時會有不同的匯率牌價的道理一樣。

這一篇文章其實基本上已經能幫你以高中的理科知識儲備搞定狹義相對論的基本思想的掌握。其他的無非都是在此基礎上的推廣與應用。

[1] 電磁理論的發展總結出了麥氏方程，問題來了：在火車上麥氏方程和地面上是一樣的表示式嗎？ 把經典力學的座標變換（伽利略變換）用在麥氏方程上，結果大吃一驚：方程形式變了！ 為了讓麥氏方程數學形式保持不變，愛因斯坦在假設光速不變和相對性原理後下引進了洛倫茲變換，解決了麥氏方程的協變性問題。

[2] 洛倫茲變換下同時性變相對了，要求時間和空間作為一個整體來考慮。

[3] 伽利略變換匯出的速度變換是 V(火車上測出的速度）=U（地面測出的速度）-W（火車相對地面的速度），如果U=光速那麼火車上測出的光速就和地面上的光速不一樣，實驗證明光速是不變的，所以伽利略變換不適用於電磁學。