這個問題具有直觀的幾何意義，畫個圖就能感覺出，答案是肯定的，即：
一個在閉區間上連續，開區間上可導，沒有駐點的函式一定在該閉區間上單調。數學結論如下：
令連續函式f(x)定義在閉區間[a,b]上，f"(x)在(a,b)上存在且不等於0，則f(x)單調。
證明： 首先根據羅爾（Rolle）中值定理：
而題設：在(a,b)上
所以
同理，
下面我們用反證法說明
如果有情形：
不失一般性，如果是情形1，則（*）
根據連續函式的介值性定理
所以，由(*)式得到
矛盾。同理，第二種情形也是不可能的。
所以，f嚴格單調。證畢。
如反過來，結論是否成立：
閉區間上的單調函式，有什麼樣的可導性質？
首先，有結論：單調函式是幾乎處處可微的。即著名的 Lebesgue定理：
若f(x)是定義在[a,b]上的單調上升函式，則f的不可微點集是零測集，且
單調函式，在數學裡有著重要的作用。
比如，關於反函式的連續性，高數里學過定理：
在實變函式中，勒貝格（Lebesgue）積分理論裡，可積函式的不定積分實際上是兩個單調上升函式的差，實際上術語叫“有界變差函式”。而在有界變差函式類的真子集：“絕對連續函式類”裡，數學家們推廣了 Riemann積分理論裡的 Newton-Leibniz 公式，即微積分基本定理，揭示了微分和積分的互逆關係。
這個問題具有直觀的幾何意義，畫個圖就能感覺出，答案是肯定的，即：
一個在閉區間上連續，開區間上可導，沒有駐點的函式一定在該閉區間上單調。數學結論如下：
令連續函式f(x)定義在閉區間[a,b]上，f"(x)在(a,b)上存在且不等於0，則f(x)單調。
證明： 首先根據羅爾（Rolle）中值定理：
而題設：在(a,b)上
所以
同理，
下面我們用反證法說明
如果有情形：
不失一般性，如果是情形1，則（*）
根據連續函式的介值性定理
所以，由(*)式得到
矛盾。同理，第二種情形也是不可能的。
所以，f嚴格單調。證畢。
如反過來，結論是否成立：
閉區間上的單調函式，有什麼樣的可導性質？
首先，有結論：單調函式是幾乎處處可微的。即著名的 Lebesgue定理：
若f(x)是定義在[a,b]上的單調上升函式，則f的不可微點集是零測集，且
單調函式，在數學裡有著重要的作用。
比如，關於反函式的連續性，高數里學過定理：
在實變函式中，勒貝格（Lebesgue）積分理論裡，可積函式的不定積分實際上是兩個單調上升函式的差，實際上術語叫“有界變差函式”。而在有界變差函式類的真子集：“絕對連續函式類”裡，數學家們推廣了 Riemann積分理論裡的 Newton-Leibniz 公式，即微積分基本定理，揭示了微分和積分的互逆關係。