拉格朗日方程的來源一般認為是最速降線問題。尤拉提出了變分法的數學思想來解決這個問題。而在變分法問題上有很大貢獻卻是拉格朗日。不過拉格朗日的工作存在瑕疵，後來經維爾斯特拉斯等人的補救，變分法才成為比較完善的數學工具。分析力學中，拉格朗日方程的數學形式如下：

其中T表示動能，Qi表示廣義力。對於保守系統，廣義力等於勢能對廣義座標的偏導數的相反數。一般情況下，T不顯含廣義座標，故一般略去左邊第二項，但是也有反例：對於費米子場的動能項就含有廣義座標。

題目中只有一個廣義座標，即振動的角度座標。因此有

這個解是橢圓函式，當θ很小的時候，準確解退化為正餘弦函式。當然，這裡需要假定b>a，否則就不能得到週期性解。

下面簡單說一下推導拉格朗日方程的思路。方案一，利用達朗貝爾虛功原理來推導。方案二，從作用量泛函出發藉助變分導數可以推匯出拉格朗日方程。對於前者比較囉嗦，這裡不介紹了。後者比較簡單。考慮如下的作用量泛函

求泛函導數有

簡單化簡有

具體計算這裡略去，因為在小編看來確實太簡單了。令泛函導數為0，那麼就得到了尤拉拉格朗日方程。勢能項一般不含廣義速度(這話也不能說死了，對於有標量場的相互作用理論裡，勢能項可能就含有標量場的導數——也就是標量場的廣義速度)，動能項一般也不含有廣義座標（一樣不能說死了），所以可以略去一些項，得到以下結果

這個式子其實就是牛頓第二定律的分析力學形式：左邊是廣義動量對時間的微商，右邊是廣義力。