方法一:辯證法告訴我們，具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式的複合函式表示式，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即該複合函式的衍生自變數(也叫中間變數)在對應法則F下的解析式與原函式在同一對應法則F下的解析式存在相似結構，才能順利解決矛盾(問題)。
由於原函式y=F(ⅹ)在對應法則F下的衍生自變數(ⅹ+1/x)與因變數y=x^2+1/x^2存在相似結構(都是一個變數與其倒數之和)，而任意非零變數與其倒數之積又是常數1，且根據完全平方公式可知:(ⅹ+1/x)^2=x^2+1/x^2 +2，所以已知解析式可化為:F(ⅹ+1/x)=(ⅹ+1/x)^2 -2，用通用自變數x代替(ⅹ+1/x)後可知:F(ⅹ)=ⅹ^2 -2。
1、當x<0時，ⅹ+1/x=-[(-ⅹ)+1/(-x)]，而由[√(-ⅹ) -1/√(-x)]^2≥0恆成立可知，(-ⅹ)+1/(-x)≥2 ，當且僅當√-ⅹ=1/√-x，即ⅹ=-1時取“=”(類似均值不等式的推導方法)，所以(-ⅹ)+1/(-x)≥2 恆成立，由此可得(ⅹ+1/x)∈(-∞，-2]；
2、當x>0時，由均值不等式可知，ⅹ+1/x≥2恆成立，當且僅當ⅹ=1/x，即ⅹ=1時取“=”，由此可得(ⅹ+1/x)∈[2，+∞)；
由於上述兩種情形不需要同時滿足，即(ⅹ+1/x)∈(-∞，-2]與(ⅹ+1/x)∈[2，+∞)不需要同時滿足(否則(ⅹ+1/x)就不存在取值範圍，即其基礎自變數ⅹ也不會有取值範圍，這就與其基礎自變數x∈(-∞，0)U(0，+∞)矛盾)，所以，原自變數ⅹ的衍生自變數(ⅹ+1/x)的取值範圍為(-∞，-2]U[2，+∞)，而不是(-∞，-2]∩[2，+∞)
方法二:辯證法告訴我們，具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式的複合函式表示式，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即複合函式在對應法則F下的衍生自變數與原函式的在同一法則下的自變數存在元數一致性，可用變數替換法求解，才能順利解決矛盾(問題)。
對於原函式y=F(u)與另一函式u=ⅹ+1/x的複合函式y=F(ⅹ+1/x)，在已經知道y=F(ⅹ+1/x)的解析式的前提下，若要求出原函式y=F(x)的解析式，僅需解決自變數ⅹ的衍生表示式在該複合函式表示式中的表達形式問題，一般把原自變數的衍生自變數用變數替換法進行變量回歸，復原成原自變數後，就可順利求解。比如:若原題變成:已知F(1+1/x)=x^2 +1/x^2，求F(ⅹ)，這時用變數替換法求解，比用方法一的構造變數法的效率高得多。可見，方法一隻適用於衍生自變數結構較簡單的情形。
因此，根據已知條件，令u=ⅹ+1/x，由於u^2=x^2 +1/x^2 +2，所以不需要解出含引數u的根，已知表示式可直接寫成:F(u)=u^2-2，由於u=ⅹ+1/x，所以應像方法一那樣進行分別討論，最終得出u∈(-∞，-2]U[2，+∞)，又由於在數學科學裡，一元函式的自變數通常用x表示，所以，原函式F(ⅹ)=ⅹ^2 -2，x∈(-∞，-2]U[2，+∞)。
(個人閒暇時的原創作品，歡迎發出不同的聲音，讓我們能夠越來越全面、準確地理解整個宇宙、外宇宙乃至更廣大自然界的廣義世界的數學本質，終會直指辯證法的數學核心，從而更好地駕馭它們，為人世間的真善美奠定堅實的數學科學、自然科學和哲學科學基礎！)
方法一:辯證法告訴我們，具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式的複合函式表示式，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即該複合函式的衍生自變數(也叫中間變數)在對應法則F下的解析式與原函式在同一對應法則F下的解析式存在相似結構，才能順利解決矛盾(問題)。
由於原函式y=F(ⅹ)在對應法則F下的衍生自變數(ⅹ+1/x)與因變數y=x^2+1/x^2存在相似結構(都是一個變數與其倒數之和)，而任意非零變數與其倒數之積又是常數1，且根據完全平方公式可知:(ⅹ+1/x)^2=x^2+1/x^2 +2，所以已知解析式可化為:F(ⅹ+1/x)=(ⅹ+1/x)^2 -2，用通用自變數x代替(ⅹ+1/x)後可知:F(ⅹ)=ⅹ^2 -2。
1、當x<0時，ⅹ+1/x=-[(-ⅹ)+1/(-x)]，而由[√(-ⅹ) -1/√(-x)]^2≥0恆成立可知，(-ⅹ)+1/(-x)≥2 ，當且僅當√-ⅹ=1/√-x，即ⅹ=-1時取“=”(類似均值不等式的推導方法)，所以(-ⅹ)+1/(-x)≥2 恆成立，由此可得(ⅹ+1/x)∈(-∞，-2]；
2、當x>0時，由均值不等式可知，ⅹ+1/x≥2恆成立，當且僅當ⅹ=1/x，即ⅹ=1時取“=”，由此可得(ⅹ+1/x)∈[2，+∞)；
由於上述兩種情形不需要同時滿足，即(ⅹ+1/x)∈(-∞，-2]與(ⅹ+1/x)∈[2，+∞)不需要同時滿足(否則(ⅹ+1/x)就不存在取值範圍，即其基礎自變數ⅹ也不會有取值範圍，這就與其基礎自變數x∈(-∞，0)U(0，+∞)矛盾)，所以，原自變數ⅹ的衍生自變數(ⅹ+1/x)的取值範圍為(-∞，-2]U[2，+∞)，而不是(-∞，-2]∩[2，+∞)
方法二:辯證法告訴我們，具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式的複合函式表示式，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即複合函式在對應法則F下的衍生自變數與原函式的在同一法則下的自變數存在元數一致性，可用變數替換法求解，才能順利解決矛盾(問題)。
對於原函式y=F(u)與另一函式u=ⅹ+1/x的複合函式y=F(ⅹ+1/x)，在已經知道y=F(ⅹ+1/x)的解析式的前提下，若要求出原函式y=F(x)的解析式，僅需解決自變數ⅹ的衍生表示式在該複合函式表示式中的表達形式問題，一般把原自變數的衍生自變數用變數替換法進行變量回歸，復原成原自變數後，就可順利求解。比如:若原題變成:已知F(1+1/x)=x^2 +1/x^2，求F(ⅹ)，這時用變數替換法求解，比用方法一的構造變數法的效率高得多。可見，方法一隻適用於衍生自變數結構較簡單的情形。
因此，根據已知條件，令u=ⅹ+1/x，由於u^2=x^2 +1/x^2 +2，所以不需要解出含引數u的根，已知表示式可直接寫成:F(u)=u^2-2，由於u=ⅹ+1/x，所以應像方法一那樣進行分別討論，最終得出u∈(-∞，-2]U[2，+∞)，又由於在數學科學裡，一元函式的自變數通常用x表示，所以，原函式F(ⅹ)=ⅹ^2 -2，x∈(-∞，-2]U[2，+∞)。
(個人閒暇時的原創作品，歡迎發出不同的聲音，讓我們能夠越來越全面、準確地理解整個宇宙、外宇宙乃至更廣大自然界的廣義世界的數學本質，終會直指辯證法的數學核心，從而更好地駕馭它們，為人世間的真善美奠定堅實的數學科學、自然科學和哲學科學基礎！)