給一個啟發式的證明思路，嚴格化的自己完善吧。

考慮任意閉區間上連續函式，其必能取到其最大最小值中的所有值，其值中的無理數個數必大於有理數個數（無理數勢＞有理數），由題意可知無理數y對應有理數x，有理數y對應無理數x，則得出自變數區間內有理數個數多於無理數x，顯然與實數理論矛盾（即無理數勢更大）。故不存在

這假設等價於有理數和無理數一一對應，推理可得有理數個數等於無理數個數。印象裡有個證明，無理數個數大於有理數個數，因此你說的函式不存在。

反證，設存在此函式y=f(x)滿足條件。

若y不是常數，則存在兩點x₀，x₁，有y₀≠y₁，因為f是連續函式，所以值域[y₀，y₁]內的任何值都有定義域區間[x₀，x₁]內的對應點。

然而，該值域區間內的無理數值y是不可數無窮（阿列夫1），其對應的x是有理數點，是可數無窮（阿列夫0），這是不可能存在對映的（康托爾對角線方法可證）！

所以，y=f(x)只能是常數，但這一樣造成矛盾：有理點和無理點的取值不能相同。

所以反設不成立，原題得證。

建議好好研究一下Dirichlet函式。它在整個實數域上有定義。自變數x取有理數時函式值為1，當x取無理數時，函式值為0。與你的問題有類似之處。就是設法把數軸上的有理數和無理數分開。

實數有三大性質:有序性，稠密性和連續性。這裡特別強調，稠密性和連續性是有區別的。有理數集合具有稠密性卻不具備連續性。説它稠密，是因為任意兩個不同的有理數之間都存在著無限多個有理數。但有理數集不具有連續性。因為數軸上的點除了可以表示有理數外，還可以表示無理數。因此，即使把所有的有理數全部表示在數軸上，數軸上的點也還沒有用完，還留有大量的縫隙。這些沒有用到的點都不能表示有理數。所以，有理數集不具有連續性。實數集則不然。實數集的稠密性毋庸贅言，這是很顯然的。但是實數集除了稠密性之外，還具有連續性。從數軸上看，實數集和數軸的點是一一對應的。把全體實數表示在數軸上，那麼數軸上的點就會全部用完，沒有剩餘。數軸上也不再留有任何縫隙。

你提的問題的實質是要把實數集分成兩個不同的數集，一個由有理陣列成，另一個由無理陣列成。這就從根本上破壞了實數集的連續性。因此你設定的函式也不可能是連續函式。這和Dirichlet函式不是連續函式道理是一樣的。Dirichlet函式是一個非常著名的函式。仔細研究這個函式，有助於澄清你的思想。

附帶説一句，有理數集是可數無窮集，而無理數集和實數集都是不可數無窮集。分別屬於不同的層次，所以你構造的這個函式是否合理需要探究。可參閱測度論。