具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式與其複合函式建立的函式方程(未知量為函式的方程)，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即該原函式與其複合函式的一半之和是簡單的二次函式y=x^2，可釆用初等函式篩選法得出原函式的通式，才能順利解決矛盾(問題)。
顯然，對於該未知函式(包含取值範圍內所有常數的變化數，它分為自變數和因變數)y=f(x)及衍生函式y=f(x/2)，由於自變數和衍生自變數(也稱為中間變數)為別為ⅹ和x/2，且方程右邊為ⅹ^2，其定義域可初步看成R。
其對應法則f下的倆自變數x和ⅹ/2，卻不具有結構自相似性(類似分形幾何裡的區域性圖形與整個圖形在形狀上具有自相似性)，因為對於複合函式y=f(x/2)，令對應法則f下的衍生自變數(或中間變數)x/2=t時，x=2t，得到的新函式方程卻為f(2x)+1/2f(x)=4x^2，反而多了一個未知函式f(2x)，無法與已知函式方程f(ⅹ)+1/2f(x/2)=x^2聯立成關於倆未知函式y=f(ⅹ)和y=f(x/2)的二元一次方程組求解。
當然，對於同一對應法則下的自變數存在結構自相似性的倆未知函式組成的二元一次方程，都可用變數替換法順利求解。如函式方程f(ⅹ)+1/2f(1-ⅹ)=x^2(或乾脆變形為另一種不含原函式f(x)的一種複合函式方程:如f(2+x)+1/2f(-ⅹ-1)=(2+x)^2，最終也能化成此類含有原函式f(x)的函式方程)，令該對應法則f下的衍生自變數(1-x)=t後，ⅹ=1-t，代入原方程後，可化為f(1-ⅹ)+1/2f(ⅹ)=(1-x)^2，與原方程聯立後，就可輕易求解。同理，對於函式方程f(ⅹ)+1/2f(1/x)=x^2，也能與衍生函式方程f(1/ⅹ)+1/2f(x)=1/x^2聯立後輕鬆求解……
由此可知，對於這類在同一對應法則下的倆自變數結構非自相似的方程，應在函式類別與結構方面篩選出這類未知函式y=f(x)的通式。
我們都知道，初等函式都是由基本初等函式——冪函式(形如y=x^a，a為有理數)、 指數函式(形如y=a^x，a﹥0且a≠1)、對數函式( 形如y=log a x，a>0且a≠1）、 三角函式(形如y=sinx，y=cosx……)、反三角函式（形如 y=arcsinx，y=arccosx……)和常函式(形如y=a，a為任意實數)經過有限次(包括0次)加、減、乘、除、有理數次乘方和開方中至少一種運算，以及有限次(包括0次)函式複合所產生的，能用單一解析式表達的函式，如常見的多項式函式f(x)=an·x^n+a n-1 ·x^(n-1)+…+a2·x^2+a1·x+a0，(a1、a2……an不全為0或都不為0，n≥1)就是由一系列冪函式y=x^n、y=x^(n-1)……y=x和常函式y=an、y=a n-1……y=a0經過有限次乘法和加法運算得到的。
因此，根據已知函式方程f(ⅹ)+1/2f(x/2)=x^2(定義域可能為R)的結構可知，等式的右邊是x^2，把冪函式f(ⅹ)=x^a、 指數函式f(x)=a^x、對數函式f(ⅹ)=log a x、 三角函式(形如f(x)=sinx，f(x)=cosⅹ)和常函式f(ⅹ)=a的通式一一代入此方程後，等式兩邊的結構和對應法則都是風馬牛不相及，沒有任何關聯。如f(ⅹ)=sinx時，f(ⅹ)+1/2f(x/2)=sinx+sin(x/2)/2 ≠ⅹ^2(ⅹ∈R)。
顯然，把它們進行有限次加、減、乘、除、有理數次乘方和開方中至少一種運算，以及有限次函式複合所產生的任一複合函式代入此方程後，只會使等式兩邊的結構和對應法則更風馬牛不相及，也無法使該方程成立。即便是非初等函式，如常見的標準正態分佈函式Φ(x)=1/√(2π)∫(-∞，ⅹ) e^(-t^2/2)dt，矩形函式rect(ⅹ)=1，|x|<1/2；1/2，|x|=1/2；0，|x|>1/2，符號函式sgn(x)=1，ⅹ>0；0，ⅹ=0；-1，x<0……也同樣如此。
因此，f(x)一定是與x^2存在相似結構(僅存在同類項x^2)的二次函式y=aⅹ^2+c(a≠0，x∈R)，代入方程得aⅹ^2+c+aⅹ^2/8+c/2=ⅹ^2，ⅹ∈R，即9ax^2/8+3c/2=ⅹ^2，比較等式兩邊，用待定係數法可知a=8/9，c=0，於是，f(x)=8x^2/9，ⅹ∈R。
當然，若把實變數ⅹ換成復變數z(z=ⅹ+yi，x、y∈R，i^2=-1，或z=re^ⅰθ=r(cosθ+ⅰsinθ)，r≥0，θ∈R)，已知方程變成f(z)+1/2f(z/2)=z^2，複變函式 w=f(z)=8z^2/9，z∈C也是該方程的一個解。
對於該函式方程f(x)+1/2f(x/2)=x^2，當x∈A且A⫋R時，f(x)可取無窮多個實變函式，此問題就有無窮多個答案。如定義域為{0，5/8，5/4}時，f(x)=ⅹ是原方程的解；定義域為{0，5/4，5/2}時，f(x)=2ⅹ就是原方程的解；定義域為{0}時，f(ⅹ)=0也是原方程的解……
(個人閒暇時的原創作品，歡迎發出不同的聲音，讓我們能夠越來越全面、準確地理解整個宇宙、外宇宙乃至更廣大自然界的廣義世界的數學本質，終會直指辯證法的數學核心，從而更好地駕馭它們，為人世間的真善美奠定堅實的數學科學、自然科學和哲學科學基礎。)
具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函式與其複合函式建立的函式方程(未知量為函式的方程)，求出原函式的表示式，找出並分析矛盾的特殊性，即該原函式與其複合函式的一半之和是簡單的二次函式y=x^2，可釆用初等函式篩選法得出原函式的通式，才能順利解決矛盾(問題)。
顯然，對於該未知函式(包含取值範圍內所有常數的變化數，它分為自變數和因變數)y=f(x)及衍生函式y=f(x/2)，由於自變數和衍生自變數(也稱為中間變數)為別為ⅹ和x/2，且方程右邊為ⅹ^2，其定義域可初步看成R。
其對應法則f下的倆自變數x和ⅹ/2，卻不具有結構自相似性(類似分形幾何裡的區域性圖形與整個圖形在形狀上具有自相似性)，因為對於複合函式y=f(x/2)，令對應法則f下的衍生自變數(或中間變數)x/2=t時，x=2t，得到的新函式方程卻為f(2x)+1/2f(x)=4x^2，反而多了一個未知函式f(2x)，無法與已知函式方程f(ⅹ)+1/2f(x/2)=x^2聯立成關於倆未知函式y=f(ⅹ)和y=f(x/2)的二元一次方程組求解。
當然，對於同一對應法則下的自變數存在結構自相似性的倆未知函式組成的二元一次方程，都可用變數替換法順利求解。如函式方程f(ⅹ)+1/2f(1-ⅹ)=x^2(或乾脆變形為另一種不含原函式f(x)的一種複合函式方程:如f(2+x)+1/2f(-ⅹ-1)=(2+x)^2，最終也能化成此類含有原函式f(x)的函式方程)，令該對應法則f下的衍生自變數(1-x)=t後，ⅹ=1-t，代入原方程後，可化為f(1-ⅹ)+1/2f(ⅹ)=(1-x)^2，與原方程聯立後，就可輕易求解。同理，對於函式方程f(ⅹ)+1/2f(1/x)=x^2，也能與衍生函式方程f(1/ⅹ)+1/2f(x)=1/x^2聯立後輕鬆求解……
由此可知，對於這類在同一對應法則下的倆自變數結構非自相似的方程，應在函式類別與結構方面篩選出這類未知函式y=f(x)的通式。
我們都知道，初等函式都是由基本初等函式——冪函式(形如y=x^a，a為有理數)、 指數函式(形如y=a^x，a﹥0且a≠1)、對數函式( 形如y=log a x，a>0且a≠1）、 三角函式(形如y=sinx，y=cosx……)、反三角函式（形如 y=arcsinx，y=arccosx……)和常函式(形如y=a，a為任意實數)經過有限次(包括0次)加、減、乘、除、有理數次乘方和開方中至少一種運算，以及有限次(包括0次)函式複合所產生的，能用單一解析式表達的函式，如常見的多項式函式f(x)=an·x^n+a n-1 ·x^(n-1)+…+a2·x^2+a1·x+a0，(a1、a2……an不全為0或都不為0，n≥1)就是由一系列冪函式y=x^n、y=x^(n-1)……y=x和常函式y=an、y=a n-1……y=a0經過有限次乘法和加法運算得到的。
因此，根據已知函式方程f(ⅹ)+1/2f(x/2)=x^2(定義域可能為R)的結構可知，等式的右邊是x^2，把冪函式f(ⅹ)=x^a、 指數函式f(x)=a^x、對數函式f(ⅹ)=log a x、 三角函式(形如f(x)=sinx，f(x)=cosⅹ)和常函式f(ⅹ)=a的通式一一代入此方程後，等式兩邊的結構和對應法則都是風馬牛不相及，沒有任何關聯。如f(ⅹ)=sinx時，f(ⅹ)+1/2f(x/2)=sinx+sin(x/2)/2 ≠ⅹ^2(ⅹ∈R)。
顯然，把它們進行有限次加、減、乘、除、有理數次乘方和開方中至少一種運算，以及有限次函式複合所產生的任一複合函式代入此方程後，只會使等式兩邊的結構和對應法則更風馬牛不相及，也無法使該方程成立。即便是非初等函式，如常見的標準正態分佈函式Φ(x)=1/√(2π)∫(-∞，ⅹ) e^(-t^2/2)dt，矩形函式rect(ⅹ)=1，|x|<1/2；1/2，|x|=1/2；0，|x|>1/2，符號函式sgn(x)=1，ⅹ>0；0，ⅹ=0；-1，x<0……也同樣如此。
因此，f(x)一定是與x^2存在相似結構(僅存在同類項x^2)的二次函式y=aⅹ^2+c(a≠0，x∈R)，代入方程得aⅹ^2+c+aⅹ^2/8+c/2=ⅹ^2，ⅹ∈R，即9ax^2/8+3c/2=ⅹ^2，比較等式兩邊，用待定係數法可知a=8/9，c=0，於是，f(x)=8x^2/9，ⅹ∈R。
當然，若把實變數ⅹ換成復變數z(z=ⅹ+yi，x、y∈R，i^2=-1，或z=re^ⅰθ=r(cosθ+ⅰsinθ)，r≥0，θ∈R)，已知方程變成f(z)+1/2f(z/2)=z^2，複變函式 w=f(z)=8z^2/9，z∈C也是該方程的一個解。
注意事項對於該函式方程f(x)+1/2f(x/2)=x^2，當x∈A且A⫋R時，f(x)可取無窮多個實變函式，此問題就有無窮多個答案。如定義域為{0，5/8，5/4}時，f(x)=ⅹ是原方程的解；定義域為{0，5/4，5/2}時，f(x)=2ⅹ就是原方程的解；定義域為{0}時，f(ⅹ)=0也是原方程的解……
(個人閒暇時的原創作品，歡迎發出不同的聲音，讓我們能夠越來越全面、準確地理解整個宇宙、外宇宙乃至更廣大自然界的廣義世界的數學本質，終會直指辯證法的數學核心，從而更好地駕馭它們，為人世間的真善美奠定堅實的數學科學、自然科學和哲學科學基礎。)