結論是 。具體計算如下：

先設定背景：首先將所取的點沿所在半徑推到圓周上（若干點位於圓心的機率為零，因此不對最終結果作出貢獻，可以忽略）。取一個周長為 的圓（於是在圓周取點時的機率密度為 ），取第一個點（記為點 ）的位置為原點，點 到第二個點（記為點 ）的沿劣弧方向為正方向，點 和第三個點（記為點 ）的位置分別表示為 和 。【由於點 剛好與點 為同一直徑上相對的兩點的機率為零，因此我們可以忽略這個沒有貢獻的情況】

首先，取前兩個點時的情況是顯然的，即無論怎麼取前兩個點都必然在同一個半圓上。對於第三個點，透過畫圖可以很容易看出其與前兩個點落在同一半圓上的條件是 。

當 ，透過畫圖可以看出前三個點位於同一半圓上，且在這個半圓的區域內點 位於點 和點 之間，因此畫出點 和點 所在直徑便可以看出在這種情況下第四個點（記為點 ）與前三個點落在同一半圓上的機率為 。因此對應著 的情況的四點共半圓的機率便為： 。當 ，透過畫圖可以看出前三個點位於同一半圓上，且在這個半圓的區域內點位於點和點之間，這種情況跟第一種情況是同理的，因此可得對應著 的情況的四點共半圓的機率為： 。當 ，透過畫圖可以看出前三個點位於同一半圓上，且在這個半圓的區域內點 位於點 和點 之間，因此畫出點 和點 所在直徑便可以看出在這種情況下點 與前三個點落在同一半圓上的機率為 。因此對應著 的情況的四點共半圓的機率便為： 。

最後，由於我們上面只考慮了 中所包含的四點共半圓的情況佔所有可能的情況的比例，因此我們還需要把上面的結果乘上 ，於是便得到了最終的總機率：