不同學科對拓撲的定義不盡相同，我就來說說數學中的拓撲。

簡單來說，拓撲是集合上定義的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T; 則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。也等價於:

1．X和空集都屬於T；

2．T中任意多個成員的並集仍在T中；

3．T中有限多個成員的交集仍在T中。

此時稱稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。最普通的例子便是實數集上的距離拓撲，這與我們通常對實數的認識相同。最簡單(粗)的拓撲為平凡拓撲，它只包含T本身和空集，最複雜(細)的拓撲的構成開集為T的所有子集。

同一個集合X，若指定不同的拓撲，則構造出不同的拓撲空間。凡屬於X的子集稱為X的一個關於T的開子集，即開集。開子集關於全集的補集，稱為閉子集，即閉集。一個集合是不是開/閉子集，取決於拓撲的指定。由定義，X本身和空集是既開又閉的子集。

本質上，拓撲就是要給一個集合指定一個幾何結構，然後這個集合就成了一個我們可以研究的空間。比如，有了拓撲和開集的定義後，我們就可以擺脫大一數學分析的ε-δ來給出更一般的連續性定義：設A和B是兩個拓撲空間，A到B的對映f稱為連續的，若任何B的開集在f下的原象是A的開集。這樣我們對於函式的研究將不再侷限於實數，而是搬到更一般的拓撲空間內了。

有了拓撲結構之後，就可以引入一系列概念以進行深入研究，但拓撲學的內容就不多介紹了。至於物理上的拓撲，那就不太懂了。

拓撲中的陳示性類

2016年的諾貝爾物理學獎授予了三位研究拓撲相變和拓撲相物質的物理學家，他們把拓撲學用到了物理上。關於拓撲和拓撲不變數的概念，可以參考我對之前一個問題“什麼是拓撲不變數”的問答。主要的點是，拓撲研究的是在連續變換下不變的性質，它關心的是整體的性質。

三位獲獎者的研究領域屬於凝聚態物理，我並不瞭解他們的具體工作。只知道他們在研究中發現某個物理量可以用Chern number（全稱叫陳省身示性數）來刻畫。Chern class也就是陳示性類和陳示性數（陳示性類的積分），作為華人對世界數學乃至科學的最大貢獻之一，我想每個搞數學的華人都應該知道什麼是陳類。這裡推薦一下，劉克峰教授寫過的一篇科普文章《我們都屬於陳類》，百度上就能搜到。

接下來，我簡單介紹一下陳類。假定已學過微分流形的基礎知識。

陳類的定義域是微分流形M上的復向量叢（也可以只考慮拓撲流形上的拓撲向量叢），取值是該向量叢的底空間的上同調類，並要求滿足一定公理，我們可以在拓撲上把陳類唯一的構造出來。陳類實際上刻畫的是向量叢的拓撲性質。同構的向量叢，陳類相同。陳類在一定程度上反應向量叢和平凡叢的差距。平凡叢的陳類為0，但是陳類為0並不一定能說明向量叢是平凡的。

特別地，如果你取的向量叢是複流形的復切叢時，這時就把復切叢的陳類，定義為底下流形的陳類。但是值得注意的是，一般而言，流形的陳示性數並不總是流形的拓撲不變數，Borel 和Hirzebruch曾給出反例，微分同胚的兩個微分流形，有不同的陳示性數。不過我們知道，top陳數-也就是尤拉示性數是拓撲不變數， Hirzebruch曾提問，哪些陳示性數的線性組合可以構成拓撲不變數。這個問題Kotschick在幾年前給出了一個回答。

不過，個人而言，我更喜歡陳類的幾何定義。我想當初陳先生髮現陳類也是來自於微分幾何上動機，特別是他在證明高斯博內定理以後，找到了曲率計算上的感覺。對微分流形M上的復向量叢，我們可以引進聯絡，以及該聯絡的曲率等概念，然後這個曲率矩陣的特徵多項式的每個係數就定義了Chern form-陳形式。

大名鼎鼎的Chern-Weil定理，告訴我們這些Chern form 總是閉形式，落在 De Rham 上同調裡，這就定義了陳類。同時，Chern-Weil 定理還說，如果你換了一個聯絡，那麼對應的Chern form 和原來的Chern form 只相差一個exact form,從而它們的陳類是一樣。也就是微分幾何上定義的陳類，並不依賴於復向量叢上的聯絡，度量等幾何結構的選取，也可以看出陳類是向量叢的拓撲不變數。

我覺得Chern-Weil定理是微分幾何中一個簡潔優美、深刻動人的定理，屬於那種可以永遠流傳的數學。除了發現陳示性類，陳省身在數學上另一貢獻，是Chern-Simons理論，特別是Witten在上世紀80年代末引進的Chern-Simons量子場論，已經是研究三維流形拓撲的重要工具，並由此開創了一個量子拓撲的新時代。關於量子拓撲，我們有機會的話在後面做進一步介紹。