開區間上的有界連續函式

它不一致連續。

但閉區間上連續函式一定一致連續，這兩個情況完全不同。

開區間上的無界連續函式

開區間上的無界連續函式一定非一致連續嗎？也就是說，存在開區間上的一致連續的函式嗎？

分兩種情況，在有限開區間和無限開區間。

這是一致連續函式。

證：∀x₁，x₂∈( 1, +∞ )

於是 g(x) 在( 1, +∞ ) Lipschitz 連續，必一致連續。

這種情況是不可能一致連續的。

證：假設 h(x) 是 ( a, b )上的無界連續函式，我們知道 h 必然在邊界無界，在其餘的地方有界，否則不連續，矛盾。我們不妨設 h(a) = +∞，於是存在兩個趨於 a 的點列，當n充分大時有：

這兩個點列存在可由函式的介值性保證。故 h(x) 非一致連續。

一致連續比較形象的理解是：

對於曲線上任意一點，存在一段“管子”（如上圖）。隨著點在曲線上的移動，管子也跟著移動，但要保證水平。如果管子可以不接觸到曲線，完美走過所有點，則函式被稱為一致連續。

生活中有類似的遊戲，就是用一個小環套在鐵絲曲線上，參與者要將小環從起點移至終點，全程不能觸碰曲線，否則會引起警報。只不過，這種遊戲不會限制小環調整角度，但“一致連續遊戲”難度有點大——不允許調整角度。

如果不存在這樣一根管子，那函式非一致連續。