Monad

　　

　　A monad is just a monoid in the category of endofunctors

　　the category of endofunctors是自函子endofunctor的範疇(category)，Monad是自函子範疇中的Monoid。

　　前面我們已經瞭解函子的對映原理，自函子可以理解為對映範疇C到另外一個範疇C。那麼自函子的範疇是什麼意思？是基於自函子的新範疇嗎？經過查詢此句原出處： Here it is in context,原文是：

　　All told, a monad in X is just a monoid in the category of endofunctors of X, with product × replaced by composition of endofunctors and unit set by the identity endofunctor.

　　確實是基於範疇X的新範疇，這個新範疇看成是endofunctors on X。範疇X之上的範疇，這個新範疇的元素物件是自函子endofunctor，談到範疇就要想到元素物件和態射，那麼其態射是什麼呢？

　　前面我們解釋函子funtor工作原理時，有一句："3.壓平這兩層集合，組合所有的結果"，這個組合方式是一種自然變換natural transformation，屬於新範疇的態射，因為態射有份兩種：組合態射和元identitiy，自然變化就要對分別對X範疇中這兩種進行轉換。

　　所以，Monad工作原理包含兩個部分：對原範疇組合成新的範疇，這個範疇對於Monad來說必須是么半群Monoid，可以認為Monad是一系列自函子的組合，這種組合是一種轉換，轉換的結果是Monoid。

　　Monad有以下特徵：

Monad是一種定義將函式(函子)組合起來的結構方式。(monoid是定義元素物件組合起來的結構方式。如果元素物件是特殊種類：函式(函子)，那麼它可能是Monad)這些組合的方法都是符合結合律的有一個特殊么元，能夠和任何元素組合，導致的結果是不改變這些元素。

　　關鍵對最後一點么元講解一下，以為什麼需要Monad?一文中案例為說明，假設有兩個數字a和b相加，這裡a和b 可能為空，Java 程式碼如下：

int try_to_add_numbers( Integer a, Integer b ) { return a + b; }

　　如果a 和b非空，那麼這個方法將會返回它們的總數，但是如果其中有一個是空的，我們會得到NullPointerException錯誤，呼叫客戶端得到這個錯誤必須去處理它。而函式的定義是有一個輸入型別和一個輸出型別，現在又跑出第三種類型Exception，很顯然Exception是和輸入輸出型別不屬於同一個範疇，這就不符合封閉運算了。

　　那麼我們使用一個么元，比如Optional來封裝結果，這樣就能保證不丟擲Exception，而是將Exception錯誤透過輸出結構輸出，這種結果分兩種，要麼是空，要麼是有值，如果是有值，開啟它就能獲得真正的計算結果。我們使用Optional與結果值結合，但是不會改變這個結果值型別。具體可見： Java8中option實現Monad

　　總體來說：Monoid是元素物件的組合的範疇，如果這種元素物件是函式或函子(也可能是Pipe，這就複雜了去了 )，那麼Monad是自函子的組合範疇，Monad也是一種特殊的Monoid子集。

　　如果你對大資料Hadoop等比較熟悉，map/reduce其實也是一個Monad。

　　最後我們用簡單大白話(不精確有助於理解)翻譯一下Monad的英文定義：A monad is just a monoid in the category of endofunctors，monad只不過也是一種特殊情況下的monoid，特殊在哪裡呢？就是自己對自己進行轉換的集合而已。