勾股定理的證明 【證法1】（課本的證明） 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形. 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即 ， 整理得 . 【證法2】（鄒元治證明） 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形. 它的面積等於c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. ∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 . ∴ . ∴ . 【證法3】（趙爽證明） 以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜 邊作四個全等的直角三角形，則每個直角 三角形的面積等於 . 把這四個直角三 角形拼成如圖所示形狀. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於 . ∴ . ∴ . 【證法4】（1876年美國總統Garfield證明） 以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形， 它的面積等於 . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD‖BC. ∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等於 . ∴ . ∴ . 【證法5】（梅文鼎證明） 做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P. ∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一個邊長為c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a. ∴ BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 , ∴ . 【證法6】（項明達證明） 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QP‖BC，交AC於點P. 過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點 F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）. 【證法7】（歐幾里得證明） 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CL⊥DE， 交AB於點M，交DE於點 L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面積等於 ， ΔGAD的面積等於矩形ADLM 的面積的一半， ∴ 矩形ADLM的面積 = . 同理可證，矩形MLEB的面積 = . ∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ∴ ，即 . 【證法8】（利用相似三角形性質證明） 如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即 . 同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 . ∴ ，即 . 【證法9】（楊作玫證明） 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT於F，AF交DT於R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF於H. ∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一個矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一個邊長為a的正方形. ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為 ① ∵ = ， ， ∴ = . ② 把②代入①，得 = = . ∴ . 【證法10】（李銳證明） 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 . 過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 . ∵ ， ， ， 又∵ ， ， ， ∴ = = ， 即 . 【證法11】（利用切割線定理證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90º，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得 = = = ， 即 ， ∴ . 【證法12】（利用多列米定理證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點A作AD‖CB，過點B作BD‖CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接於一個圓. 根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有 ， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ∴ ，即 ， ∴ . 【證法13】（作直角三角形的內切圓證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ = = r + r = 2r, 即 ， ∴ . ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ = = = = ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【證法14】（利用反證法證明） 如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D. 假設 ，即假設 ，則由 = = 可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，則 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， ∴ 若BD：BC≠BC：AB，則 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º， ∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º. 這與作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假設不能成立. ∴ . 【證法15】（辛卜松證明） 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 = . ∴ , ∴ . 【證法16】（陳杰證明） 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. 在EH = b上擷取ED = a，連結DA、DC， 則 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EM―ED = ―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º. ∴ 作AB‖DC，CB‖DA，則ABCD是一個邊長為c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE. 連結FB，在ΔABF和ΔADE中， ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 點B、F、G、H在一條直線上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG. ∵ ， ， ， ， ∴ = = = ∴ . 不好意思 圖上不來
勾股定理的證明 【證法1】（課本的證明） 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形. 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即 ， 整理得 . 【證法2】（鄒元治證明） 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形. 它的面積等於c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. ∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 . ∴ . ∴ . 【證法3】（趙爽證明） 以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜 邊作四個全等的直角三角形，則每個直角 三角形的面積等於 . 把這四個直角三 角形拼成如圖所示形狀. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於 . ∴ . ∴ . 【證法4】（1876年美國總統Garfield證明） 以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形， 它的面積等於 . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD‖BC. ∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等於 . ∴ . ∴ . 【證法5】（梅文鼎證明） 做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P. ∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一個邊長為c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a. ∴ BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 , ∴ . 【證法6】（項明達證明） 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QP‖BC，交AC於點P. 過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點 F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）. 【證法7】（歐幾里得證明） 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CL⊥DE， 交AB於點M，交DE於點 L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面積等於 ， ΔGAD的面積等於矩形ADLM 的面積的一半， ∴ 矩形ADLM的面積 = . 同理可證，矩形MLEB的面積 = . ∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ∴ ，即 . 【證法8】（利用相似三角形性質證明） 如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即 . 同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 . ∴ ，即 . 【證法9】（楊作玫證明） 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT於F，AF交DT於R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF於H. ∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一個矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一個邊長為a的正方形. ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為 ① ∵ = ， ， ∴ = . ② 把②代入①，得 = = . ∴ . 【證法10】（李銳證明） 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 . 過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 . ∵ ， ， ， 又∵ ， ， ， ∴ = = ， 即 . 【證法11】（利用切割線定理證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90º，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得 = = = ， 即 ， ∴ . 【證法12】（利用多列米定理證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點A作AD‖CB，過點B作BD‖CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接於一個圓. 根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有 ， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ∴ ，即 ， ∴ . 【證法13】（作直角三角形的內切圓證明） 在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ = = r + r = 2r, 即 ， ∴ . ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ = = = = ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【證法14】（利用反證法證明） 如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D. 假設 ，即假設 ，則由 = = 可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，則 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， ∴ 若BD：BC≠BC：AB，則 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º， ∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º. 這與作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假設不能成立. ∴ . 【證法15】（辛卜松證明） 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 = . ∴ , ∴ . 【證法16】（陳杰證明） 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. 在EH = b上擷取ED = a，連結DA、DC， 則 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EM―ED = ―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a， ∠AED = 90º， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º. ∴ 作AB‖DC，CB‖DA，則ABCD是一個邊長為c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE. 連結FB，在ΔABF和ΔADE中， ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 點B、F、G、H在一條直線上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG. ∵ ， ， ， ， ∴ = = = ∴ . 不好意思 圖上不來