勾股定理有367種證明方法，最著名的有5種：
【證法1】（梅文鼎證明）
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF於點P.
∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180°―90°=90°
又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一個邊長為c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90°
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90°
即∠CBD=90°
又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，
BC=BD=a.
∴BDPC是一個邊長為a的正方形.
同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
,
∴BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2
【證法2】（項明達證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.
過點Q作QP∥BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵∠BCA=90°，QP∥BC，
∴∠MPC=90°，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90°，
∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90°.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
【證法3】（趙浩傑證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB=∠CFD=90°，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD，
同理，RtΔABG≌RtΔADE，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE
∴∠ABG=∠BCJ,
∵∠BCJ+∠CBJ=90°,
∴∠ABG+∠CBJ=90°,
∵∠ABC=90°,
∴G,B,I,J在同一直線上，
所以a^2+b^2=c^2
【證法4】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結
BF、CD.過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點L.
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面積等於，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的一半，
∴矩形ADLM的面積=.
同理可證，矩形MLEB的面積=.
∵正方形ADEB的面積
=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積
∴即a的平方+b的平方=c的平方
【證法5】歐幾里得的證法
《幾何原本》中的證明
在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。分別連線CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對應的，同理可證B、A和H。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。因為AB和BD分別等於FB和BC，所以△ABD必須相等於△FBC。因為A與K和L是線性對應的，所以四方形BDLK必須二倍面積於△ABD。因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF=AB^2。同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=AC^2。把這兩個結果相加，AB^2+AC^2;=BD×BK+KL×KC由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由於CBDE是個正方形，因此AB^2+AC^2=BC^2。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
勾股定理有367種證明方法，最著名的有5種：
【證法1】（梅文鼎證明）
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF於點P.
∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180°―90°=90°
又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一個邊長為c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90°
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90°
即∠CBD=90°
又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，
BC=BD=a.
∴BDPC是一個邊長為a的正方形.
同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
,
∴BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2
【證法2】（項明達證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.
過點Q作QP∥BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵∠BCA=90°，QP∥BC，
∴∠MPC=90°，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90°，
∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90°.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
【證法3】（趙浩傑證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB=∠CFD=90°，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD，
同理，RtΔABG≌RtΔADE，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE
∴∠ABG=∠BCJ,
∵∠BCJ+∠CBJ=90°,
∴∠ABG+∠CBJ=90°,
∵∠ABC=90°,
∴G,B,I,J在同一直線上，
所以a^2+b^2=c^2
【證法4】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結
BF、CD.過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點L.
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面積等於，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的一半，
∴矩形ADLM的面積=.
同理可證，矩形MLEB的面積=.
∵正方形ADEB的面積
=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積
∴即a的平方+b的平方=c的平方
【證法5】歐幾里得的證法
《幾何原本》中的證明
在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。分別連線CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是線性對應的，同理可證B、A和H。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。因為AB和BD分別等於FB和BC，所以△ABD必須相等於△FBC。因為A與K和L是線性對應的，所以四方形BDLK必須二倍面積於△ABD。因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF=AB^2。同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH=AC^2。把這兩個結果相加，AB^2+AC^2;=BD×BK+KL×KC由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由於CBDE是個正方形，因此AB^2+AC^2=BC^2。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的