平面中兩個座標軸上的變數 x 和 y 之間的關係：
F(x, y) = 0
構成一個 平面曲線。
三維空間中，三個座標軸上的變數 x、y 和 z 之間的關係：
F(x, y, z) = 0
構成一個 曲面。
F₁(x, y, z) = 0
F₂(x, y, z) = 0
當 F₁ 滿足隱函式定理的條件時，我們可以 從 方程1 中 解出：
z = G(x, y)
代入 方程 2 得到：
G₂(x, y) = F₂(x, y, G(x, y)) = 0
同樣，當 G₂ 也滿足隱函式定理的條件時，則存在：
y = H(x)
再，令 x = t，最終就會得到，方程組：
x = x(t) = t
y = y(t) = H(t)
z = z(t) = G(t, H(t))
這就是，空間曲線的 引數方程。將其寫成向量函式形式為：
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
曲線的引數表示法，最早是由 尤拉 引入的，它清楚的表明：
空間曲線 r 是 從 一維空間 R 到 三維空間 R³ 的對映。
也就是說，對於 一維空間 R 中的 每個 點 t 都有 三維空間 R³ 中的點 r(t) 與之對應，所有的這些 點 r(t)，構成整個曲線。
空間曲線 r，在每一個點 p 點處的 導數，定義為：
r"(t) = (x"(t), y"(t), z"(t))
它是 p 處的切向量，表示曲線在該點處的變化。
如果，將 空間曲線 r 的引數 t 看成時間軸，則 曲線就是 質點 m 的運動軌跡，而 p 處的切向量 r"(t) ，就是 m 在 p 點處的 瞬時速度，r"(t) 的方向 是速度方向，|r"(t)| 是速度塊慢。
高斯他們很早就發現：曲線引數的選取 和 曲線的形狀無關，也就是說，隨著引數選取不同，構成曲線的點並沒有改變，改變的僅僅從 R的點 到 曲線的點 的對應關係。
例如，對於 曲線，r(t) = (t³, t, 0)，我們令，t= At，得到：
r(At) = ((At)³, At, 0)
改變 A 相當於 我們選取了不同的 引數 t，見如下動圖：
圖中，我們可以看到，隨著 A 的變化，曲線形狀不變，只有 t = 1, 2, 3 所對應的 曲線內位置 在改變。
正因為，曲線形狀保持不變，所以 曲線 在 任何一點 p 處的 切線 也是固定不變，從而，p 點處的 切向量 方向 同樣不變，如上圖，所改變的僅僅是 切向量的長度，因為它表示，曲線弧長隨引數的變化率，也就是，上面的 質點 m 運動速度的快慢。
圖中，p = (1, 1) 點處 與 t = 1/A 對應，因此 p 處切向量為：
r"(1) = (3A³t², A, 0)|_{t=1/A} = (3A, A, 0)
其方向向量為：
r"(1) /|r"(1)| = (3A, A, 0) / √[(3A)² + A² + 0] = (3/√10, 1/√10, 0)
顯然 和 A 無關。
為了，保證 研究 曲線的形狀 時，不受 引數選擇 的影響，我們 可以 透過 適當 選擇引數 t = t(s)，使得 r 在 新的 引數下的 向量函式 r(s) = r(t(s)) 在每個點 p 的切向量 r"(s) 是 單位向量，即 |r"(s)| = 1。稱 s 為自然引數。
這樣以來，令 α(s) = r"(s)， α 僅僅表示曲線的方向，於是， α" 就是曲線方向的改變，其大小 就表徵 曲線的彎曲程度，稱為 曲率，記為 κ(s) = |α"(s)|。同時，令 β(s) = α"(s)/|α"(s)|，來表彎曲方向。
因為：
α ⋅ α = |α|² = 1
於是，
0 = 1" = (α ⋅ α)" = α" ⋅ α + α ⋅ α" = 2 α" ⋅ α
故，
α" ⋅ α = 0
這說明 α" ⊥ α ，也就是 β ⊥ α，於是 稱 β 和 α 所在平面為 密切平面。
對於 自然引數 曲線 r(s)，我們同樣可以 令 s = s(t)，將 r(s)，變回 一般引數：
r(t) = r(s(t))
等式兩邊，關於 t 求導得到：
r"(t) = r"(s) s"(t) = α(s) s"(t) ⋯ ①
於是，切向量方向為：
r"(t) / |r"(t)| =α(s) s"(t) / |α(s) s"(t)| = sing(s"(t)) α(s)
可見，對於 切向量方向，引數改變僅僅只能影響 的正負定向。
而切向量大小為：
|r"(t)| = |α(s) s"(t)| = |α(s)| |s"(t)| = |s"(t)|
可見，切向量大小，有完全由引數選擇決定，和曲線 r 無關。
等式 ① 兩邊，繼續關於 t 求導得到：
r""(t) = (α(s) s"(t))" = (α(s))" s"(t) + α(s) s""(t) = α"(s) (s"(t))² + α(s) s""(t)
然後，我們將，等式兩邊 分別 與 等式 ① 兩邊 叉乘，有：
r"(t) × r""(t) = α(s) s"(t) × (α"(s) (s"(t))² + α(s) s""(t)) = (α(s) × α"(s)) (s"(t))³ + (α(s) × α(s)) s"(t) s""(t) = (α(s) × α"(s)) (s"(t))³
|r"(t) × r""(t)| = |(α(s) × α"(s)) (s"(t))³| = |α(s) × α"(s)| |s"(t)|³ = |α(s)| |α"(s)| sin ∠ α α" |s"(t)|³
根據，
|α(s)| = 1, κ = |α"(s)|, α" ⊥ α， |s"(t)| = |r"(t)|
有，
|r"(t) × r""(t)| = κ |r"(t)|³
最終得到，一般引數曲線的曲率計算公式：
κ = |r"(t) × r""(t)|/|r"(t)|³
半徑為 r( ≥ 0)，圓心在原點，位於 XY 平面的 圓 的向量函式為：
r(t) = (r cos t, r sin t, 0)
r"(t) = (-r sin t, r cos t, 0)
r""(t) = (-r cos t, -r sin t, 0)
r"(t) × r""(t) = (0, 0, (-r sin t)(-r sin t) - (-r cost)(r cost)) = (0, 0, r²)
|r"(t) × r""(t)| = r²
|r"(t)| = r
根據上面 的 曲率計算公式，我們就可以算出 圓 的曲率為：
κ = r² / r³ = 1/r
可見 圓 的曲率是一個常數。
設 自然引數曲線 r 上 p 點的 曲率為 κ，我們稱 同樣 過 p 點 位於 密切平面的 和 r 在 p 點共切線的，曲率是 κ 的 圓 為 曲率圓，曲率圓的半徑 稱為 曲率半徑。
因為 圓 的曲率為 κ = 1/r，所以，
曲率半徑 = 1/κ
這就是曲率半徑的計算公式。
關於，最初，例子中的曲線：
r(t) = (t³, t, 0)
有：
r"(t) = (3t², 1, 0)
r""(t) = (6t, 0, 0)
r"(t) × r""(t) = (0, 0, -6t)
|r"(t) × r""(t)| = 6|t|
|r"(t)| = √(9t⁴ + 1)
κ = 6|t| / (√(9t⁴ + 1))³
曲率半徑 = (√(9t⁴ + 1))³ / 6|t|
總結：曲率半徑 就是 1/κ，因此 計算曲率半徑的關鍵是計算 曲線的曲率 κ，
對於自然引數曲線 r(s)，使用定義： κ(s) = |r""(s)|；
對於一般引數曲線 r(t)，使用公式： κ(t) = |r"(t) × r""(t)|/|r"(t)|³。
補充（2020/4/1）：
如果 平面曲線 F(x, y) = 0 中的 F 滿足 隱函式定理條件，則 存在 函式：
y = f(x)
寫成空間引數曲線形式為：
r(x) = (x, f(x), 0)
於是：
r"(x) = (1, f"(x), 0)
r""(x) = (0, f""(x), 0)
r"(x) × r""(x) = (0, 0, f""(x))
|r"(x) × r""(x)| = |f""(x)|
|r"(x)| = √(1 + (f"(x))²)
最後，得到 函式的曲率計算公式：
κ(x) = |f""(x)| / (√(1 + (f"(x))²))³
最初的例子中，曲線對應的函式為：
y = x³
根據上面的公式，計算 曲率為：
κ(x) = |6x| / (√(1 + 9x⁴))³
這與上面的計算結果一致。
上半邊圓的 函式為：
y = √(r² - x²)
κ(x) = |-(r²/(√(r² - x²))³|/(√(1 + (-x/√(r² - x²))²))³ = r²/(√(r² - x²))³ / (√(r² / (r² - x²)))³ = 1/r
這也與上面的計算結果一致。
平面中兩個座標軸上的變數 x 和 y 之間的關係：
F(x, y) = 0
構成一個 平面曲線。
三維空間中，三個座標軸上的變數 x、y 和 z 之間的關係：
F(x, y, z) = 0
構成一個 曲面。
F₁(x, y, z) = 0
F₂(x, y, z) = 0
當 F₁ 滿足隱函式定理的條件時，我們可以 從 方程1 中 解出：
z = G(x, y)
代入 方程 2 得到：
G₂(x, y) = F₂(x, y, G(x, y)) = 0
同樣，當 G₂ 也滿足隱函式定理的條件時，則存在：
y = H(x)
再，令 x = t，最終就會得到，方程組：
x = x(t) = t
y = y(t) = H(t)
z = z(t) = G(t, H(t))
這就是，空間曲線的 引數方程。將其寫成向量函式形式為：
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
曲線的引數表示法，最早是由 尤拉 引入的，它清楚的表明：
空間曲線 r 是 從 一維空間 R 到 三維空間 R³ 的對映。
也就是說，對於 一維空間 R 中的 每個 點 t 都有 三維空間 R³ 中的點 r(t) 與之對應，所有的這些 點 r(t)，構成整個曲線。
空間曲線 r，在每一個點 p 點處的 導數，定義為：
r"(t) = (x"(t), y"(t), z"(t))
它是 p 處的切向量，表示曲線在該點處的變化。
如果，將 空間曲線 r 的引數 t 看成時間軸，則 曲線就是 質點 m 的運動軌跡，而 p 處的切向量 r"(t) ，就是 m 在 p 點處的 瞬時速度，r"(t) 的方向 是速度方向，|r"(t)| 是速度塊慢。
高斯他們很早就發現：曲線引數的選取 和 曲線的形狀無關，也就是說，隨著引數選取不同，構成曲線的點並沒有改變，改變的僅僅從 R的點 到 曲線的點 的對應關係。
例如，對於 曲線，r(t) = (t³, t, 0)，我們令，t= At，得到：
r(At) = ((At)³, At, 0)
改變 A 相當於 我們選取了不同的 引數 t，見如下動圖：
圖中，我們可以看到，隨著 A 的變化，曲線形狀不變，只有 t = 1, 2, 3 所對應的 曲線內位置 在改變。
正因為，曲線形狀保持不變，所以 曲線 在 任何一點 p 處的 切線 也是固定不變，從而，p 點處的 切向量 方向 同樣不變，如上圖，所改變的僅僅是 切向量的長度，因為它表示，曲線弧長隨引數的變化率，也就是，上面的 質點 m 運動速度的快慢。
圖中，p = (1, 1) 點處 與 t = 1/A 對應，因此 p 處切向量為：
r"(1) = (3A³t², A, 0)|_{t=1/A} = (3A, A, 0)
其方向向量為：
r"(1) /|r"(1)| = (3A, A, 0) / √[(3A)² + A² + 0] = (3/√10, 1/√10, 0)
顯然 和 A 無關。
為了，保證 研究 曲線的形狀 時，不受 引數選擇 的影響，我們 可以 透過 適當 選擇引數 t = t(s)，使得 r 在 新的 引數下的 向量函式 r(s) = r(t(s)) 在每個點 p 的切向量 r"(s) 是 單位向量，即 |r"(s)| = 1。稱 s 為自然引數。
這樣以來，令 α(s) = r"(s)， α 僅僅表示曲線的方向，於是， α" 就是曲線方向的改變，其大小 就表徵 曲線的彎曲程度，稱為 曲率，記為 κ(s) = |α"(s)|。同時，令 β(s) = α"(s)/|α"(s)|，來表彎曲方向。
因為：
α ⋅ α = |α|² = 1
於是，
0 = 1" = (α ⋅ α)" = α" ⋅ α + α ⋅ α" = 2 α" ⋅ α
故，
α" ⋅ α = 0
這說明 α" ⊥ α ，也就是 β ⊥ α，於是 稱 β 和 α 所在平面為 密切平面。
對於 自然引數 曲線 r(s)，我們同樣可以 令 s = s(t)，將 r(s)，變回 一般引數：
r(t) = r(s(t))
等式兩邊，關於 t 求導得到：
r"(t) = r"(s) s"(t) = α(s) s"(t) ⋯ ①
於是，切向量方向為：
r"(t) / |r"(t)| =α(s) s"(t) / |α(s) s"(t)| = sing(s"(t)) α(s)
可見，對於 切向量方向，引數改變僅僅只能影響 的正負定向。
而切向量大小為：
|r"(t)| = |α(s) s"(t)| = |α(s)| |s"(t)| = |s"(t)|
可見，切向量大小，有完全由引數選擇決定，和曲線 r 無關。
等式 ① 兩邊，繼續關於 t 求導得到：
r""(t) = (α(s) s"(t))" = (α(s))" s"(t) + α(s) s""(t) = α"(s) (s"(t))² + α(s) s""(t)
然後，我們將，等式兩邊 分別 與 等式 ① 兩邊 叉乘，有：
r"(t) × r""(t) = α(s) s"(t) × (α"(s) (s"(t))² + α(s) s""(t)) = (α(s) × α"(s)) (s"(t))³ + (α(s) × α(s)) s"(t) s""(t) = (α(s) × α"(s)) (s"(t))³
於是，
|r"(t) × r""(t)| = |(α(s) × α"(s)) (s"(t))³| = |α(s) × α"(s)| |s"(t)|³ = |α(s)| |α"(s)| sin ∠ α α" |s"(t)|³
根據，
|α(s)| = 1, κ = |α"(s)|, α" ⊥ α， |s"(t)| = |r"(t)|
有，
|r"(t) × r""(t)| = κ |r"(t)|³
最終得到，一般引數曲線的曲率計算公式：
κ = |r"(t) × r""(t)|/|r"(t)|³
半徑為 r( ≥ 0)，圓心在原點，位於 XY 平面的 圓 的向量函式為：
r(t) = (r cos t, r sin t, 0)
於是，
r"(t) = (-r sin t, r cos t, 0)
r""(t) = (-r cos t, -r sin t, 0)
r"(t) × r""(t) = (0, 0, (-r sin t)(-r sin t) - (-r cost)(r cost)) = (0, 0, r²)
|r"(t) × r""(t)| = r²
|r"(t)| = r
根據上面 的 曲率計算公式，我們就可以算出 圓 的曲率為：
κ = r² / r³ = 1/r
可見 圓 的曲率是一個常數。
設 自然引數曲線 r 上 p 點的 曲率為 κ，我們稱 同樣 過 p 點 位於 密切平面的 和 r 在 p 點共切線的，曲率是 κ 的 圓 為 曲率圓，曲率圓的半徑 稱為 曲率半徑。
因為 圓 的曲率為 κ = 1/r，所以，
曲率半徑 = 1/κ
這就是曲率半徑的計算公式。
關於，最初，例子中的曲線：
r(t) = (t³, t, 0)
有：
r"(t) = (3t², 1, 0)
r""(t) = (6t, 0, 0)
r"(t) × r""(t) = (0, 0, -6t)
|r"(t) × r""(t)| = 6|t|
|r"(t)| = √(9t⁴ + 1)
κ = 6|t| / (√(9t⁴ + 1))³
於是，
曲率半徑 = (√(9t⁴ + 1))³ / 6|t|
總結：曲率半徑 就是 1/κ，因此 計算曲率半徑的關鍵是計算 曲線的曲率 κ，
對於自然引數曲線 r(s)，使用定義： κ(s) = |r""(s)|；
對於一般引數曲線 r(t)，使用公式： κ(t) = |r"(t) × r""(t)|/|r"(t)|³。
補充（2020/4/1）：
如果 平面曲線 F(x, y) = 0 中的 F 滿足 隱函式定理條件，則 存在 函式：
y = f(x)
寫成空間引數曲線形式為：
r(x) = (x, f(x), 0)
於是：
r"(x) = (1, f"(x), 0)
r""(x) = (0, f""(x), 0)
r"(x) × r""(x) = (0, 0, f""(x))
|r"(x) × r""(x)| = |f""(x)|
|r"(x)| = √(1 + (f"(x))²)
最後，得到 函式的曲率計算公式：
κ(x) = |f""(x)| / (√(1 + (f"(x))²))³
最初的例子中，曲線對應的函式為：
y = x³
根據上面的公式，計算 曲率為：
κ(x) = |6x| / (√(1 + 9x⁴))³
這與上面的計算結果一致。
上半邊圓的 函式為：
y = √(r² - x²)
根據上面的公式，計算 曲率為：
κ(x) = |-(r²/(√(r² - x²))³|/(√(1 + (-x/√(r² - x²))²))³ = r²/(√(r² - x²))³ / (√(r² / (r² - x²)))³ = 1/r
這也與上面的計算結果一致。