什麼是容斥原理？看到這個標題，大家應該會有這種凝問吧！其實容斥原理一直都在數學中廣泛使用，只是我們不太瞭解。“容”表示包含的意思，“斥”表示排除的意思。推理中經常用到容斥原理。

容：可從字面上理解為包容，相交，交集，交融，或公共部分；斥：可以從字面上理解為相互排斥，沒有共同的要素，無公共部分。

那麼什麼是容斥原理呢？

其實，容斥原理事實上是一種計數原理，主要是在計數的過程，為使得計數結果不重不漏，數學家們創造出來的這麼一個公式（理論）。

容斥原理體現在了高中數學的每一個章節中，特別是在集合、機率、計數原理等章節中體現的尤為突出和澎湃。看圖3、圖4。

事實上，容斥原理體現在所有的教學科目中，更體現在我們生活的方方面面。我們每一個人都在被動地接受“容斥原理”，也都在主動地用“容斥原理”去影響別人。

所以說數學是屬於“數學人”的，數學是屬於“學生和老師”的，數學是屬於全人類的。

畢竟有這麼一位牛人曾說過這麼一句話：萬物皆數。（到底是哪位大家說的，我給忘了，哇咔咔咔哈哈哈）

在榮斥原理中：

容：包含（include），合併；

斥：不包含（exclude），除去；

它們分別代表榮斥原理的兩個公式。看下面的例子：

題目：小明班，喜歡語文的有 7 人，喜歡數學的有 5 人，語文和數學都喜歡的有 3 人，問：語文和數學至少喜歡一門的有多少人？ ①

令，A = {喜歡語文的}，B = {喜歡數學的}，則:

A ∩ B = {語文和數學都喜歡的}

A ∪ B = {語文和數學至少喜歡一門的}

繪製成 Venn 圖：

由圖得到，榮斥原理公式 1：

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| ，

注：|A| 表示 A 的元素個數。

從題目知：|A| = 7，|B| = 5，|A ∩ B| = 3，故求得：

|A ∪ B| = 7 + 5 - 3 = 9

還是，題目 ①，還知 小明班共有 24 人，又問：語文和數學全都不喜歡的有多少人？

令，X = {小明班全體同學}，有，

Aᶜ = {不喜歡語文的}， Bᶜ = {不喜歡數學的}

於是，

Aᶜ ∩ Bᶜ = {語文和數學全都不喜歡的}

注：Aᶜ 表示 A 的補集合，就是 從 X 中除去 A 剩下的。

繪製 Venn 圖：

利用 De Morgan 定理：

Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ

根據 公式 1，不難得出，榮斥原理公式 2：

|Aᶜ ∩ Bᶜ| = |X| - |A| - |B| + |A ∩ B|

又從題目知：|X| = 24，故求得：

|Aᶜ ∩ Bᶜ| = 24 - 7 - 5 + 3 = 15

上面例子中，公式 1，就是“容”的意義：是包含A 和 B 的人數；公式2，則是“斥”的具體表現：是全體中不包含A 和 B 的人數。

當然，以上只是 二元的情況，榮斥原理還可以是多元，甚至是擴充套件的，但 不管怎樣，結果都是“容” 和“斥”的組合。