如果說硬幣有可能是兩面都是正面的話，那就要考慮這個兩面都是正面的先驗機率是多少了，我們知道絕大多數硬幣都不會兩面都是正面，我們假設一百萬枚當中平均會出現一枚，也就是說先驗機率是。簡便起見我們就假設沒有兩面都是反面的情況了，剩下的機率都是一面正面一面反面，而且這種硬幣扔到正反面的機率各自是現在連續扔了N次，都是正面，我們會考慮，到底是運氣好連續扔了N次都是正面，還是硬幣本身就是兩面都是正面呢？只要用貝葉斯公式計算一下後驗機率就可以了，我們記事件A：硬幣兩面都是正面，事件B：連續扔了N次，全部都是正面，我們要評估在事件B發生的條件下，事件A的機率，也就是：不管扔多少次我們都無法100%判斷究竟是哪一種情況發生，因為機率既不是0也不是1，但是我們可以選擇更傾向於相信哪一種。比如說，如果我們一定要從中二選一，我們可能會選擇相信機率大的一方，也就是與中機率較大的一個，也就是說當時我們選擇相信的確拿到了一枚兩面都是正面的硬幣。用這種方法的話，代入前面的資料，我們可以得到當時，我們就可以認為有超過50%的機率我們的硬幣兩面都是正面。這個0.5的閾值並不是絕對的，也有很多時候我們會選擇其他的閾值，比如說如果你猜全是正面，猜對了獎勵10塊錢，猜對了扣1塊錢；而猜不全是正面，猜對了獎勵一塊錢，猜對了扣10塊錢，這樣你可能會更傾向於猜全是正面，準確來說閾值應當是也就是說只要有超過1/11的機率就可以猜了，這種判據叫做代價函式。如果只要求超過1/11，則可以按前面的資料算出這次只需要就可以了。有的時候在統計的時候，我們會選擇當後驗機率超過0.95的時候，認為A發生；小於0.05的時候，認為A未發生；其他時候則認為論據不充分，無法做判斷。這時候也可以算出需要的次數。對於非常謹慎的科學研究，有的時候我們要求5個sigma的顯著程度，這相當於要求誤判機率小於大約三百五十萬分之一。可以算出這時候要求的次數是。如果真的扔了一億次都是正面，那麼選到一枚正常硬幣的條件機率不足十的三千萬次方分之一。再回頭說扔了N次都是正面，下一次是正面還是反面的問題，在考慮硬幣有可能有全是正面的情況的時候，這就變成了一個全機率公式的問題，記下一次扔出正面這個事件為C，則：代入前面的公式就很容易算出相應的機率了。可以注意到最終結果與前面假設的“硬幣兩面都是正面”的先驗機率密切相關。對於不考慮這種情況的問題來說，，，所以下一次的機率仍然是
如果說硬幣有可能是兩面都是正面的話，那就要考慮這個兩面都是正面的先驗機率是多少了，我們知道絕大多數硬幣都不會兩面都是正面，我們假設一百萬枚當中平均會出現一枚，也就是說先驗機率是。簡便起見我們就假設沒有兩面都是反面的情況了，剩下的機率都是一面正面一面反面，而且這種硬幣扔到正反面的機率各自是現在連續扔了N次，都是正面，我們會考慮，到底是運氣好連續扔了N次都是正面，還是硬幣本身就是兩面都是正面呢？只要用貝葉斯公式計算一下後驗機率就可以了，我們記事件A：硬幣兩面都是正面，事件B：連續扔了N次，全部都是正面，我們要評估在事件B發生的條件下，事件A的機率，也就是：不管扔多少次我們都無法100%判斷究竟是哪一種情況發生，因為機率既不是0也不是1，但是我們可以選擇更傾向於相信哪一種。比如說，如果我們一定要從中二選一，我們可能會選擇相信機率大的一方，也就是與中機率較大的一個，也就是說當時我們選擇相信的確拿到了一枚兩面都是正面的硬幣。用這種方法的話，代入前面的資料，我們可以得到當時，我們就可以認為有超過50%的機率我們的硬幣兩面都是正面。這個0.5的閾值並不是絕對的，也有很多時候我們會選擇其他的閾值，比如說如果你猜全是正面，猜對了獎勵10塊錢，猜對了扣1塊錢；而猜不全是正面，猜對了獎勵一塊錢，猜對了扣10塊錢，這樣你可能會更傾向於猜全是正面，準確來說閾值應當是也就是說只要有超過1/11的機率就可以猜了，這種判據叫做代價函式。如果只要求超過1/11，則可以按前面的資料算出這次只需要就可以了。有的時候在統計的時候，我們會選擇當後驗機率超過0.95的時候，認為A發生；小於0.05的時候，認為A未發生；其他時候則認為論據不充分，無法做判斷。這時候也可以算出需要的次數。對於非常謹慎的科學研究，有的時候我們要求5個sigma的顯著程度，這相當於要求誤判機率小於大約三百五十萬分之一。可以算出這時候要求的次數是。如果真的扔了一億次都是正面，那麼選到一枚正常硬幣的條件機率不足十的三千萬次方分之一。再回頭說扔了N次都是正面，下一次是正面還是反面的問題，在考慮硬幣有可能有全是正面的情況的時候，這就變成了一個全機率公式的問題，記下一次扔出正面這個事件為C，則：代入前面的公式就很容易算出相應的機率了。可以注意到最終結果與前面假設的“硬幣兩面都是正面”的先驗機率密切相關。對於不考慮這種情況的問題來說，，，所以下一次的機率仍然是