我們一般用戴德金分割來定義實數，那是一個簡潔優美的定義，它的思想是填補所有上確界。但是這裡不講

我們一般也用小數定義實數，

我們可以把“正實數”理解為一個“長度”，任意一個長度我們直觀的認為可以如下用有理數序列逼近，對於一個長度r

我們直觀認為的認為唯一存在一個整數n0，

n0＜=r＜n0+1，

然後存在唯一一個整數n1

n0 . n1 ＜=r ＜n0. （n1+1）

（注意小數點）

以此類推

於是得到一個從下面逼近r的無窮數列

n0

n0. n1

n0. n1n2

n0. n1n2n3

………

取其每一位整數，構成新數列｛ ni ｝

（可以得知，i＞0時，ni＜10，所以小數是表達合理的）

序列｛ni｝出現迴圈則稱迴圈小數，我們認為，每個迴圈小數逼近一個有理數（不再說明，題主可自己想想，提示：幾何級數，有理數上依然可以預先建立極限理論）

所以，我們排除迴圈小數，把剩下的無限小數定義為“正無理數”。也就是無法用有理數表達的長度。

補充：與整數，有理數定義不同，實數不可數，所以它不能從可數的有理數透過有限個有理數運算生成一個無理數，於是一般的，一個無理數要用無數個有理數來界定。