全體整數所組成的集合中有兩種運算：加法和乘法，而且它們滿足下面運演算法則：

1） 加法滿足結合律；

2） 加法滿足加換律；

3） 有一個數0，是對任意整數 ， ；

4） 對任意整數 ，存在整數 ，使 ；

5） 乘法滿足結合律；

6） 有一個數1，是對任意整數 ，

7） 加法與乘法滿足分配律： ；

8） 乘法滿足加換律；

9） 無零因子：如果 ，則 。我們把滿足上述九條運算性質的代數系統稱為有理整數環，並用 代表它。“整除”、“互素”、“倍數”、“因數”、“最大公因數”、“最小公倍數”等概念在小學和中學已介紹，在這裡就不再贅述。現在，我們從抽象的角度對“環”這一代數物件作一概述。設 是一個非空集合。如果在 的元素之間定義了一種運算，稱做加法，即對 中任意兩元素 ，都按某法則 對應於 內的一個唯一確定的元素，記作 ，且滿足如下運演算法則：（i） 結合律： ；（ii） 中有一元素0，是對一切 ；（iii） 對 中任一元素 ，有 ；（iv） 交換律： 。又設 內另有一種運算稱作乘法，即對 中任意兩個元素 ，都按某個法則 對應於 內一個唯一確定的元素，記作 ，且滿足如下運演算法則：（v） 結合律： ；（vi） 加法與乘法有兩方面的分配律： 則 成為一個環。如果一個環 的乘法也滿足交換律，則 稱為交換環；如果環 記憶體在一個元素 ，使 ，則 稱為 的單位元素， 稱為有么元的環；如果環 記憶體在兩個非零元 ，使 ，則 （ ）稱為左（右）零因子，這時 稱為有零因子環；如果環 至少包含兩個元素，可交換，有么元，無零因子，則稱 為一個整環；如果 是一個整環，且對 內任一非零元素都有逆元，則 稱為一個域。

設R是一個有1的環, 則存在唯一的環同態φ: Z → R, 滿足φ(1) = 1.ker(φ)作為Z的理想, 存在非負整數n, 使ker(φ) = (n), 稱n為環R的特徵.當R = Z, φ: Z → R是恆等對映, 因此ker(φ) = {0} = (0), 故整數環Z的特徵為0.定義雖然抽象, 也可以相對具體的理解:在R中考慮序列: 1, 1+1, 1+1+1,...若序列中有0, 則R的特徵為首次得0的項數, 即最小的相加得0的次數.若序列中沒有0, 則R的特徵為0.當R = Z, 上述序列即1, 2, 3,..., 其中沒有0, 故Z的特徵為0.