f(4x)=f(x)+f(2x)

令x=0得f(0)=0

由於x＞0時和x＜0時的情形獨立，故只考慮x＞0時的情形。

令g(log2(x))=f(x)，則g(x)=f(2^x)

並且有g(log2(4x))=g(log2(x))+g(log2(2x))

即g(log2(x)+2)=g(log2(x))+g(log2(x)+1)

令y=log2(x)∈R，則x=2^y，並且有

g(y+2)=g(y)+g(y+1)

我們考慮一個長度為2的區間[a,a+2)上g的取值，顯然如果這裡g的取值完全已知，則可唯一確定g在R上的取值。但是很容易發現，g在這個區間上任意取值均可。

也就是說，任定義函式h1,h2:[0,2)→R,對i∈{1,2}可以令gi(t)=

hi(t),t∈[0,2)

gi(t-2)+gi(t-1),t≥2

gi(t+2)-gi(t+1),t＜0

這樣定義的gi是存在且唯一的，再令f(x)=

g1(log2(x)),x＞0

0,x=0

g2(log2(-x)),x＜0

這就是方程的所有解。