對於平面來說，點A處的法向量 的意思是，從平面上取一點B, 則向量AB必定與 垂直（也叫正交），即 .

對於曲面來說，因為A附近的曲面不是“平的”，所以取的B必須“無限接近於”A（換句話說，實際上取不了這種B），也就是 要正交於每一個切向量 。 是 的極限，也就是 , . 注意到 ,所以三個偏導數構成的向量構成法向量。

上面這段話裡用到了微分，下面以不用微分的方式重新描述一遍法向量。

設 是 到曲面 上的一個可微對映（什麼是到 上的可微對映？可以理解為 是到 上的可微對映，只不過值域恰好完全落在了曲面 上. 特別地， 的三個分量函式都是 的可導函式），且 ,則稱 是 上過A點的一條可微曲線。此時 在0處的導數 就可以認為是曲面 在A點處的一個切向量了。

對於向量 ,定義 與 的數量積（名字我瞎起的，含義為 與切向量的數量積）為 ，其中 等等是在0處的導數.

如果存在某個向量 ，使得對於任意的 ,均成立 =0，則稱 為 在A點處的一個法向量。

考慮複合函式 ,由 和 的定義知 ,而由複合函式求導方法知 ,特別地，取t=0， 得

因此 是一個法向量.