這是一樣大的！

我接觸過的最早的證明是這樣的，1/3是0.33333（3迴圈），0.33333（3迴圈）乘以3，等於0.99999（9迴圈），而1/3乘以3等於1，所以1等於0.9999（9迴圈）。

還有1/9等於0.11111（1迴圈），兩邊乘以9，跟上邊的類似。

後來，我在網上看到有很多關於這兩個數是否相等的爭議，有人認為0.999（9迴圈）是無限接近1但小於1的。乍一看，很有道理啊，0.999（9迴圈）與1之間，還有一個差值，好像是0.000……001（0迴圈），為什麼就等於1呢？有矛盾啊！

這就要理解迴圈是什麼意思。這裡標註的迴圈，是無限重複的意思，也就是說，0.999後面有無窮多個9，如果把0.999（9迴圈）看作是0.9+0.09+0.009+0.0009……這樣的無限個數的和，就可以用等比數列求和公式[a1(1-q^n)]/(1-q)，得到一個計算式，是[0.9×(1-0.1^n)]/(1-0.1），其中n等於+∞，這個算式要等到大學才能徹底明白，它就是1。真要搞明白透徹，歡迎把高等數學的微積分好好學學！

至於剛才提到的0.000……001（0迴圈），其實就是算式裡的0.1^n，n等於+∞，一樣的，也是大學的內容（現在高中可能也有，到是應該不繫統），它就等於0。

總之，記住一點，這兩個數是相等的，而且沒有任何問題，所謂的爭議，只是不明情況的圍觀群眾而已？

數學是很神奇的東西 我可以說他們相等

0.9的迴圈等於1：0.9+0.09+0.009+0.0009+.........=0.9×(1+0.1+0.01+0.001+........) //: 圓括號內為等比級數：首項為1，公比為：0.1；項數：∞；=0.9 × lim(n->∞) a1(1-q^n)/(1-q)=0.9 × lim(n->∞)(1-0.1^n)/(1-0.1) //: 0.1^∞=0 =0.9/0.9=1

還有一個好玩的 雖然會不符合邏輯 但可以體現數學的奧妙