留數也稱殘數，全稱是複變函式在孤立奇點的留數(或殘數)，指的是複變函式沿著孤立奇點附近的圍線積分後所剩下的值除以2(pai)i. 所以稱為留數(或殘數). 由於複變函式沿著解析點附近的圍線積分的值為0，不剩下多餘的數，而複變函式沿著孤立奇點附近的圍線積分就可能不為0，會剩下非0的值，因此留數(或殘數)就用來衡量複變函式在孤立奇點附近的特性了.另外，複變函式f(z)在孤立奇點z0的留數(或殘數)也就是複變函式在孤立奇點的Laurent級數中1/(z-z0)的係數.

留數又稱殘數，複變函式論中一個重要的概念。是解析函式f（z）沿一條正向簡單閉曲線的積分值。

定義是：f（z）在 0

，則稱積分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz為f（z）關於a點的留數 ，記作Res[f（z），a] 。如果f（z）是平面流速場的復速度，而a是它的旋源點（即旋渦中心或源匯中心），則積分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的強度——環流量，所以留數是環流量除以2πi的值。由於解析函式在孤立奇點附近可以展成羅朗級數：f（z）=∑ak（z－a）k ，將它沿|z－a|=R逐項積分，立即可見Res[f(z)，a]=a-1 ，這表明留數是解析函式在孤立奇點的羅朗展式中負一次冪項的係數。

在複分析中，留數定理是用來計算解析函式沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函式的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。

留數定理：設D是複平面上單連通開區域，C是其邊界,函式f(z)在D內除了有限個奇點a1,a2,...,an外解析,在閉區域D+C上除了a1,a2,...,an外連續,則在C上圍道積分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)