19世紀的德國數學家狄利克雷提出一個函式：
這屬於一個人造函式，而這個函式本身卻給我們帶來很多深刻的思考。
首先最好來感受一下這個函式。當x取有理數的時候，函式值為1；當x取無理數的時候，函式值為0。這裡糾結的地方在哪裡呢？無理數和有理數密密麻麻地摻雜在一起，任意兩個無理數之間有無窮多個有理數，任意兩個有理數之間有無窮多個無理數。也就是不管x的區間取得多麼小，函式值會急劇地在0與1之間反覆跳動。
這種跳動不是一般的函式波動，而是捉摸不到的、極其迅速的跳變。因此狄利克雷函式是極度不連續的。
所以，狄利克雷函式的一個重要特點就是：無法作圖。你可以試著把x軸上的有理數和無理數進行分離，屬於有理數的點上升一個單位，屬於無理數的點停留在原處。當然，這隻能存在於想象中，圖形無法表示。
這就使得函式的概念擴大了。函式不一定需要表示式，甚至不需要影象，它成為了一個抽象的概念。只要存在某種對應關係，我們就可以稱之為函式。
我們接著探究一下狄利克雷函式的奇偶性和週期性。
假設x是在正半軸上的，如果它是有理數，-x也為有理數；如果它是無理數，-x也為無理數。例如 ，那麼 。所以對於一切x， 。於是狄利克雷函式是偶函式，也就是它的影象是軸對稱的，是可以關於y軸折起來的（實數的對稱性）。
再說週期性。任何有理數都可以作為狄利克雷函式的週期。即 。如果x為有理數，則有1=1；如果x為無理數，則有0=0。
無理數可不可以作為函式的週期呢？答案是否定的。假設無理數可以作為週期，肯定有 。如果我取 ，則得到1=0。然而這是不成立的，說明假設是錯誤的。
最後，我們回到函式的“極度”不連續上。“極度”的意思就是函式“影象”下面沒有面積，也就是它和x軸圍不出面積。那麼我們就要去問：函式不連續到什麼程度它下面才會沒有面積？
19世紀的德國數學家狄利克雷提出一個函式：
這屬於一個人造函式，而這個函式本身卻給我們帶來很多深刻的思考。
首先最好來感受一下這個函式。當x取有理數的時候，函式值為1；當x取無理數的時候，函式值為0。這裡糾結的地方在哪裡呢？無理數和有理數密密麻麻地摻雜在一起，任意兩個無理數之間有無窮多個有理數，任意兩個有理數之間有無窮多個無理數。也就是不管x的區間取得多麼小，函式值會急劇地在0與1之間反覆跳動。
這種跳動不是一般的函式波動，而是捉摸不到的、極其迅速的跳變。因此狄利克雷函式是極度不連續的。
所以，狄利克雷函式的一個重要特點就是：無法作圖。你可以試著把x軸上的有理數和無理數進行分離，屬於有理數的點上升一個單位，屬於無理數的點停留在原處。當然，這隻能存在於想象中，圖形無法表示。
這就使得函式的概念擴大了。函式不一定需要表示式，甚至不需要影象，它成為了一個抽象的概念。只要存在某種對應關係，我們就可以稱之為函式。
我們接著探究一下狄利克雷函式的奇偶性和週期性。
假設x是在正半軸上的，如果它是有理數，-x也為有理數；如果它是無理數，-x也為無理數。例如 ，那麼 。所以對於一切x， 。於是狄利克雷函式是偶函式，也就是它的影象是軸對稱的，是可以關於y軸折起來的（實數的對稱性）。
再說週期性。任何有理數都可以作為狄利克雷函式的週期。即 。如果x為有理數，則有1=1；如果x為無理數，則有0=0。
無理數可不可以作為函式的週期呢？答案是否定的。假設無理數可以作為週期，肯定有 。如果我取 ，則得到1=0。然而這是不成立的，說明假設是錯誤的。
最後，我們回到函式的“極度”不連續上。“極度”的意思就是函式“影象”下面沒有面積，也就是它和x軸圍不出面積。那麼我們就要去問：函式不連續到什麼程度它下面才會沒有面積？