這種情況是可以報考的。

三支一扶的崗位需求條件明確、清晰，系統按照統一量化評分標準，對報名參加“三支一扶”計劃的人員進行綜合評分，資料由省“三支一扶”辦公室進行稽核，對排名第一併且體檢合格的人員才能確定為該崗位的招募物件。

三支一扶招募計劃中的支教、支醫、支農專案性招考考試，西部地區大多數省份僅限於高校應屆生畢業生報考，不允許已經全面就業的往屆生報考。問題中描述的“親戚”已經在鄉鎮上班，如果屬於事業編單位而且畢業多年，屬於往屆生，是不能夠報考的。

也有些省份三支一扶招募計劃報考條件和西北地區省份報考不同，部分省份的三支一扶招募計劃報考條件為以應屆畢業生及畢業兩年以內未就業的往屆畢業生，學歷要求大專以上。

也就是說，各地域省份的三支一扶招募計劃報考規定的條件略有不同，需要高校畢業生具體以戶籍所在地（生源地省份）的教育廳釋出公告為準。個別省份同時對於生源地省份的透過三支一扶招募計劃招錄的人員，服務期滿後不能夠直接轉正為擁有正式事業編制的工作人員，服務期滿後，可以繼續留在原工作崗位上，繼續透過努力考取編制；而西部地區大大多數省份透過三支一扶招募計劃招錄的人員服務期滿後可以直接轉正為擁有事業編制的工作人員。

因此，問題中描述的“親戚”既然在鄉鎮上班，具體需要看檢視戶籍所在地省份教育廳每年有關三支一扶招募計劃釋出的報考公告和報考條件規定（西部地區大多數省份三支一扶招募計劃僅僅限於應屆生報考）。問題中描述的“親戚”目前在上班單位是否擁有事業編，如果擁有事業編制則不能夠參加三支一扶招募計劃報考；如果沒有事業編制，且教育廳釋出的公告規定高校畢業兩年內的未就業的畢業生可以報考，則完全可以報考。

注意:三支一扶招募計劃招考考試主要為筆試和麵試，筆試考試科目為《職業能力測試》、《綜合知識》，不涉及專業知識，涉及公務員基礎知識，以客觀題型為主。