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  • 1 # 使用者5727443459422

    (x+sinx)/(1+cosx)在 [0,π/2]上的定積分是π/2。

    ∫(x+sinx)/(1+cosx)dx

    =∫[x+2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]dx

    =∫[x/(2cos²(x/2))]dx+∫[2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]dx

    =∫xdtan(x/2)+∫tan(x/2)dx

    =xtan(x/2)-∫tan(x/2)dx+∫tan(x/2)dx

    =xtan(x/2)+C

    所以原定積分

    =xtan(x/2)|(0,π/2)

    =π/2

    擴充套件資料:

    定積分與不定積分之間的關係:若定積分存在,則它是一個具體的數值(曲邊梯形的面積),而不定積分是一個函式表示式,它們僅僅在數學上有一個計算關係(牛頓-萊布尼茨公式),其它一點關係都沒有!

    一個函式,可以存在不定積分,而不存在定積分;也可以存在定積分,而不存在不定積分。一個連續函式,一定存在定積分和不定積分;若只有有限個間斷點,則定積分存在;若有跳躍間斷點,則原函式一定不存在,即不定積分一定不存在。

    常用積分公式:

    1)∫0dx=c

    2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

    3)∫1/xdx=ln|x|+c

    4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

    5)∫e^xdx=e^x+c

    6)∫sinxdx=-cosx+c

    7)∫cosxdx=sinx+c

    8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

    9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

    10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c

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