圓周角定理：一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半

證明：

已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.

證明：

情況1：

如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

圖1

∵OA、OC是半徑

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情況2：

如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時：

連線AO，並延長AO交⊙O於D

圖2

∵OA、OB、OC是半徑

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）

∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情況3：

如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：

圖3

連線AO，並延長AO交⊙O於D連線OA,OB。

解：∵OA、OB、OC、是半徑

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等邊對等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

從而得證：∠BOC=2∠BAC.