1、這個取餘是沒有最小值的。

假如一個無理數p0的小數部分是p1，p1的n-1倍小於1，p1的n倍大於1，容易知道np1的小數部分必然是小於p1的。我們記np1的小數部分為p2。

p2的m-1倍小於1，p2的m倍大於1，容易知道mp2的小數部分等於nmp0的小數部分小於p2。我們記做p3。p3小於p2。

將p看作一個無限數列，它總是遞減的。

因此這個取餘是沒有最小值的。

當然這不等於可以任意小。

2、設p0整數倍的小數部分是一個集合。如果a和b（a大於b）在集合中，那麼a-b在集合中。

因為

a=np0%1

b=mp0%1

a-b=（n-m）p0%1

因此若a在集合中且存在b<a在集合中，那麼集合中必有一個數小於或等於a/2（b或a-b）。

3、由於任何一個數a在集合中，總能找到一個數b<a在集合中，因此任何一個數a可以找到小於或等於a/2、a/4、a/8…的數在集合中

4、在集合中取一個數可以任意小

5、集合是無理數p的整數倍的集合，但對於僅正整數倍的情況，也是成立的。

6、以上都是臨時思考得出的結論，若有錯漏，敬請指正。