所謂算符就是一個操作（operation），操作就是動作，它一定要有個作用的物件。

我們可以考慮是一本書，我們拿起書來可以圍繞z軸轉動（如圖），也可以圍繞x軸轉動，……，轉動就是操作，轉動完之後書在三維空間裡的方位是不同的。

現在我們用Rz表示圍繞z軸轉動，Rz(π/2)表示書圍繞z軸按“右手螺旋”方向轉動π/2（或說90°），我們發現有這樣的性質：

1.如果都是圍繞相同的轉軸轉動，比如都圍繞z軸轉動，我們發現聯合操作的後果，與操作實施的次序無關，寫成數學符號就是：

Rz(α)Rz(β)=Rz(β)Rz(α)

等式左側，表示先圍繞z軸轉β角度，再圍繞z軸轉α角度，這樣操作的後果和先圍繞z軸轉α角度，再圍繞z軸轉β角度是一樣的。

這個性質在數學上叫可交換，這裡兩個操作按順序一個一個從右向左實施，叫算符的乘法，即AB表示先實施B操作，然後再實施A操作，如果AB=BA，我們就說兩個算符是對易的（或是可交換的）。

可對易的算符對我們來說沒有什麼可以驚訝的，因為在算術裡，數字的乘法也滿足交換律。

2.我們發現某些操作是與操作的次序有關的，換句話說有些算符的乘法是不符合交換律的，還以“轉動一本書”為例，我們發現“先圍繞z軸轉動π/2，再圍繞x軸轉動π/2”與“先圍繞x軸轉動π/2，再圍繞z軸轉動π/2”的後果是不一樣的（如上圖）。

寫成數學式子就是：

這裡Rx(π/2)和Rz(π/2)就是兩個不能互相交換次序的操作（在生活裡有很多與操作次序有關的例子，比如在做菜的時候，先放醋還是先放醬油也是有講究的）。在數學裡我們管AB不等於BA的兩個算符稱為不可對易的算符。

比如在量子力學裡，位置算符和動量算符就是兩個不可對易的算符，這是為什麼會有海森堡不確定關係的原因。

最後再多說一句：我們一般用矩陣來表示Rz，Rx等，用向量表示矩陣作用的物件。