一、完全平方數的概念

完全平方數是這樣的一種數，它可以寫成一個正整數的平方。例如36等於6×6，25等於5×5，121等於11×11。

二、完全平方數的性質

性質1：從1開始的n個奇數的和是一個完全平方數。

應用等差數列之事即可證明。

性質2：每一個完全平方數的末位數是0、1、4、5、6或9。

這其實是顯而易見的。末位數也就是個位數，我們只需要計算個位數的乘積即可。性質3：每一個完全平方數，要麼能被3整除，要麼減1能被3整除。

先觀察下面這些數字。

這條性質也不難證明。一個正整數，要麼是奇數，要麼就是偶數。對於兩個相同的偶數相乘，乘積必然能被4整除；下面考慮奇數的情況。性質5：每一個完全平方數，要麼能被5整除，要麼加1或減1能被5整除。

指兩個相同數相乘所得的數，例如：16=4×4，16就是一個完全平方數(或稱平方數)，還可以理解為一個數如果是另一個整數的平方，那麼這個數就是完全平方數。表示式為：A=a²。

1～1000內的完全平方數

① 完全平方數的個位數字只能是0，1，4，5，6，9；不可能出現 2，3，7，8

在數論的各種問題中，確定末位數字十分重要。

② 完全平方數的因數個數為奇數。這個可以透過因數個數公式來推理證明。

④ 完全平方數除以3的餘數只能是0，1。證明如下。

⑤ 凡個位數字是5，但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；

尾數只有奇數個“0”的自然數（不包括0本身）不是完全平方數；

⑥ 奇數的平方的個位數字為奇數，而十位數字為偶數；

⑦ 如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數；

⑨ 在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數；

⑩ 任何四個連續整數的乘積加1，必定是一個完全平方數。