簡單地推導一下一個非常重要的聯絡微觀和宏觀的公式：“熵”:

考慮一個簡答的情形，有兩個孤立的平衡物理系統( ),假設V,N不變，他們接觸後能量會發生變化。首先，根據熱力學第一定律：

是這個複合系統的能量。接下里，我們定義一些符號來表示系統的物理量： 是系統 的微觀狀態數， 是系統 的微觀狀態數；也可以得到簡單的一些等式：

然後，根據熱力學第二定律：孤立系統永遠朝著系統微觀狀態數增加的方向前進直到達到最大可能微觀狀態數（平衡狀態），在最大可能微觀狀態數的情況下（平衡狀態下），我們可以得到：

根據 Equation(1)， ,

這樣，我們可以定義一個物理量來表示 達到平衡的條件，

也就是說，當 時，系統 達到熱力學平衡（相同的溫度）。聯絡熱力學中的公式：

比較 Equation(5)和 Equation(6)，我們可以得到：

這個關係是由Boltzmann首次建立（發現）的，上面關係中的常量（const）就是Boltzmann常量：

根據這個關係，Plank建立了上面的“熵”式：

值得一提的是，這個公式也表明了“熵”是有“絕對“ 值的一個量，不同於”焓“（Enthalpy）。當微觀狀態數 時，“熵” S=0, 這和熱力學第三定律以及第零定律也聯絡起來了。

Reference: Statistical Mechanics, R.K. Pathria & Paul D.Beale.