以你書中的函式 y = f(x) 為例, 我們來看看滿足什麼條件時我們才能說 (x 趨向於 a 時y的極限為L)為了便於理解, 我們對函式 y = f(x) 額外附加一些限制:(1) y = f(x) 在 x = a 處有定義且 f(a) = L(2) y = f(x) 是連續函式(如果還沒學到連續的概念, 可以大致理解成函式曲線平滑無中斷)(3) x 和 y 都是實數.注: 這些附加條件是為了便於理解和描述而額外新增的, 實際的函式極限定義中不一定要滿足.對照函式 y = f(x) 的影象, 我們可以看到: 當自變數 x 的取值從點 x = a 左右任意一側無限接近 (或者說逼近)a 時, 函式值 y 就會無限接近(或者說逼近)L, 即 x 趨向於 a 時y的極限為L. 對極限的這種自然語言描述通常我們都能很容易地理解, 那麼如何用數學語言來描述呢?首先描述 "x接近a": 兩個實數 x 與 a 之間的接近程度可以用 | x - a | 來度量, | x - a | 越小, x與a就越接近. 然後描述 "x無限接近a": 如果對於任意(小)的正數, 都有 | x - a | < , 那麼就可以說 x 無限接近 a.以相同的方式描述 "y無限接近L": 如果對於任意(小)的正數, 都有 | y - L | < , 那麼就可以說 y 無限接近 L.連起來差不多就是書中 1.4.1中極限的定義: 如果對於任意(小)的正數, 都能找到正數 , 使得 | x - a | < 時, | y - L | < , 那麼就說 (x 趨向於 a 時y的極限為L)去掉我們前面額外附加的條件(1), 就得到與你書中完全一樣的定義: 如果對於任意(小)的正數, 都能找到正數 , 使得 0 < | x - a | < 時, | y - L | < , 那麼就說 (x 趨向於 a 時y的極限為L). 對照自然語言描述: 如果x無限接近a時, y無限接近L, 那麼就說 .另外可以進一步看看下面的問題中 何新宇 給出的回答(尤其是他給出的連結 Precise Definition of Limit 中的內容)請問如何理解極限的精確定義？ - 數學
以你書中的函式 y = f(x) 為例, 我們來看看滿足什麼條件時我們才能說 (x 趨向於 a 時y的極限為L)為了便於理解, 我們對函式 y = f(x) 額外附加一些限制:(1) y = f(x) 在 x = a 處有定義且 f(a) = L(2) y = f(x) 是連續函式(如果還沒學到連續的概念, 可以大致理解成函式曲線平滑無中斷)(3) x 和 y 都是實數.注: 這些附加條件是為了便於理解和描述而額外新增的, 實際的函式極限定義中不一定要滿足.對照函式 y = f(x) 的影象, 我們可以看到: 當自變數 x 的取值從點 x = a 左右任意一側無限接近 (或者說逼近)a 時, 函式值 y 就會無限接近(或者說逼近)L, 即 x 趨向於 a 時y的極限為L. 對極限的這種自然語言描述通常我們都能很容易地理解, 那麼如何用數學語言來描述呢?首先描述 "x接近a": 兩個實數 x 與 a 之間的接近程度可以用 | x - a | 來度量, | x - a | 越小, x與a就越接近. 然後描述 "x無限接近a": 如果對於任意(小)的正數, 都有 | x - a | < , 那麼就可以說 x 無限接近 a.以相同的方式描述 "y無限接近L": 如果對於任意(小)的正數, 都有 | y - L | < , 那麼就可以說 y 無限接近 L.連起來差不多就是書中 1.4.1中極限的定義: 如果對於任意(小)的正數, 都能找到正數 , 使得 | x - a | < 時, | y - L | < , 那麼就說 (x 趨向於 a 時y的極限為L)去掉我們前面額外附加的條件(1), 就得到與你書中完全一樣的定義: 如果對於任意(小)的正數, 都能找到正數 , 使得 0 < | x - a | < 時, | y - L | < , 那麼就說 (x 趨向於 a 時y的極限為L). 對照自然語言描述: 如果x無限接近a時, y無限接近L, 那麼就說 .另外可以進一步看看下面的問題中 何新宇 給出的回答(尤其是他給出的連結 Precise Definition of Limit 中的內容)請問如何理解極限的精確定義？ - 數學