根據線性齊次微分方程解的結構理論，通解為 y = C1x + C2x^2。此外滿足解為 y = x， y = x^2 的一個線性微分方程是 y"" - (2/x)y" + (2/x^2)y = 0，y = C1x + C2x^2 代入滿足，並含 2 個獨立積分常數，故為通解。

求特徵方程r^2+p(x)r+q(x)=0 解出兩個特徵根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2為實數；

則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2為實數，則y=(c1+xc2)*e^(r1*x) 若r1,r2即a±bi為複數，則y=e^(ax)*(c1*cosbx+c2*sinbx)

二階線性微分方程的一般形式為

　　ay"+by"+cy=f(x)

　　[其中係數a,b,c及f(x)分別是常數和自變數x的函式。]

　　函式f(x)稱為函式的自由項。

　　若f(x)≡0,則

　　ay"+by"+cy=0

　　稱為二階線性齊次微分方程；

　　若f(x)≠0,則

　　ay"+by"+cy=f(x)

　　稱為二階線性非齊次微分方程。

微分方程大致與微積分同時產生 。事實上，求y′＝f(x)的原函式問題便是最簡單的微分方程。而如果在該方程中y連續求兩次導數的話就是二階微分方程。

方程對於學過中學數學的人來說是比較熟悉的；在初等數學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關係找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式，然後取求方程的解。

但是在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：物質在一定條件下的運動變化，要尋求它的運動、變化的規律；某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規律；火箭在發動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等。