胡克定律

Hook"slaw

材料力學和彈性力學的基本規律之一。由R.胡克於1678年提出而得名。胡克定律的內容為：在材料的線彈性範圍內，固體的單向拉伸變形與所受的外力成正比；也可表述為：在應力低於比例極限的情況下，固體中的應力σ與應變ε成正比，即σ＝Εε，式中E為常數，稱為彈性模量或楊氏模量。把胡克定律推廣應用於三向應力和應變狀態，則可得到廣義胡克定律。胡克定律為彈性力學的發展奠定了基礎。各向同性材料的廣義胡克定律有兩種常用的數學形式：

σ11＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε11，σ23＝2Gε23，

σ22＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε22，σ31＝2Gε31，(1)

σ33＝λ（ε11＋ε22＋ε33）＋2Gε33，σ12＝2Gε12，及

式中σij為應力分量；εij為應變分量（i，j＝1，2，3）；λ和G為拉梅常量，G又稱剪下模量；E為彈性模量（或楊氏模量）；v為泊松比。λ、G、E和v之間存在下列聯絡：式（1）適用於已知應變求應力的問題，式（2）適用於已知應力求應變的問題。

根據無初始應力的假設，（f1）0應為零。對於均勻材料，材料性質與座標無關，因此函式f1對應變的一階偏導數為常數。因此應力應變的一般關係表示式可以簡化為

上述關係式是胡克（Hooke）定律在複雜應力條件下的推廣，因此又稱作廣義胡克定律。

廣義胡克定律中的係數Cmn（m，n=1，2，…，6）稱為彈性常數，一共有36個。

如果物體是非均勻材料構成的，物體內各點受力後將有不同的彈性效應，因此一般的講，Cmn是座標x，y，z的函式。

但是如果物體是由均勻材料構成的，那麼物體內部各點，如果受同樣的應力，將有相同的應變；反之，物體內各點如果有相同的應變，必承受同樣的應力。

這一條件反映在廣義胡克定理上，就是Cmn為彈性常數。