用反證法證明根號3是無理數：

1、假設(√3)是有理數。

∵ 1＜3＜4

∴(√1)＜(√3)＜(√4)

即：1＜(√3)＜2

∴(√3)不是整數.

∵整數和分數也統稱為有理數，而(√3)不是整數。

∴在假設“(√3)是有理數”的前提下，(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。

此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)。

兩邊平方，得：m?/ n?= 3

∴m?是質數3的倍數。

我們知道，如果兩個數的乘積是3的倍數，那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。

∴由“m?(m與m的乘積) 是質數3的倍數”得：正整數m是3的倍數。

此時不妨設 m = 3k(k為正整數)

把“m = 3k” 代入“m?/ n?= 3” ,得：(9k? / n?= 3

∴3k?= n? 即：n?/ k?= 3

對比“m?/ n?= 3“ 同理可證

正整數n也是3的倍數。

∴正整數m和n均為3的倍數。

這與“m、n均為正整數且互質”相矛盾。

意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論。

∴原假設“(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數。

而已證(√3) 不是整數。

∴(√3) 既不是整數也不是分數，即(√3) 不是有理數。

∴(√3) 是無理數。

2、假設根號3是有理數。

有理數可以寫成兩個整數的比。

且經過有限次約分後成為最簡分數，即分子分母互質。

設根號3=p/q

p和q都是整數且互質。

兩邊平方

3=p^2/q^2

p^2=3q^2

則p^2能被3整除。

所以p也能被3整除。

設P=3m

9m^2=3q^2

q^2=3m^2

所以q^2能被3整除。

所以q也能被3整除。

這和p和q互質矛盾。

所以根號3不是有理數，是無理數。