f是一個整係數多項式,G是它的Galois群,G自然作用在f的根上，給出一個置換表示把mod p 翻譯成Frobenius同構的條件，利用密度定理可以證明:①f 在Z上 有根 等價於 G 所有元都 fix 同 一個根② f mod p 都有根 等價於 G 中每個元 都至少fix 某一個根③ f mod p 都可約 等價於 G 不包含 n 輪換④ f 在 Z 上 可約 等價於 G 作用不是可遷的所以問題轉為如何理解群的置換表示的問題.有了上面的結論，反例非常好構造:考慮給出的置換表示為:分裂域Galois群acts on這個作用就是G在自身的左乘作用(根全體同構於1，3，5，7，即G自己）所以當然不包括n輪換(一個有限群在自身的左乘置換作用包含n輪換等價於這是一個迴圈群)然而這個作用是可遷的(左乘作用自然可遷)不難驗證n小於4時，f如果不可約，那麼galois群一定含n輪換，此時兩者等價一般地，很容易找到其他不包含n輪換的可遷置換作用（例如n次單位根的分裂域是分圓域，Galois群的置換表示就是Z/nZ的單位群的左乘作用，其總是可遷的，但是包含n輪換當且僅當是個迴圈群，即n是2乘p的冪，p的冪，2，4這幾種，p奇素數）所以我覺得mod p都可約的多項式中可約的只佔少數.補一下較為tricky的2的證明：
K為f的分裂域
如果G中每個元都fix f 一個根，那麼對p素數,考慮P|p,則O_K/P /F_p 是迴圈擴張，
由於G到這個有限域的擴張的Galois群的自然限制是滿射，
存在G中元x，x mod P生成這個迴圈群，x所fix的根記為z，則z mod P 被所有自同構fix故 屬於 F_p,所以存在整數b，b-z=0 mod P，從而f(b)-f(z)=0mod P 所以f(b) \in P ,所以f(b） \in P 交 Z=p,所以f(b)=0 mod p
反過來，對G中元x，由密度定理存在無窮多p|P,使得Frobp|P=x，那麼由於f 模p有根b ,所以存在f一個根z，z=b mod P，所以x(z)=x(b)=b mod P，所以x(z)-z屬於P
f是一個整係數多項式,G是它的Galois群,G自然作用在f的根上，給出一個置換表示把mod p 翻譯成Frobenius同構的條件，利用密度定理可以證明:①f 在Z上 有根 等價於 G 所有元都 fix 同 一個根② f mod p 都有根 等價於 G 中每個元 都至少fix 某一個根③ f mod p 都可約 等價於 G 不包含 n 輪換④ f 在 Z 上 可約 等價於 G 作用不是可遷的所以問題轉為如何理解群的置換表示的問題.有了上面的結論，反例非常好構造:考慮給出的置換表示為:分裂域Galois群acts on這個作用就是G在自身的左乘作用(根全體同構於1，3，5，7，即G自己）所以當然不包括n輪換(一個有限群在自身的左乘置換作用包含n輪換等價於這是一個迴圈群)然而這個作用是可遷的(左乘作用自然可遷)不難驗證n小於4時，f如果不可約，那麼galois群一定含n輪換，此時兩者等價一般地，很容易找到其他不包含n輪換的可遷置換作用（例如n次單位根的分裂域是分圓域，Galois群的置換表示就是Z/nZ的單位群的左乘作用，其總是可遷的，但是包含n輪換當且僅當是個迴圈群，即n是2乘p的冪，p的冪，2，4這幾種，p奇素數）所以我覺得mod p都可約的多項式中可約的只佔少數.補一下較為tricky的2的證明：
K為f的分裂域
如果G中每個元都fix f 一個根，那麼對p素數,考慮P|p,則O_K/P /F_p 是迴圈擴張，
由於G到這個有限域的擴張的Galois群的自然限制是滿射，
存在G中元x，x mod P生成這個迴圈群，x所fix的根記為z，則z mod P 被所有自同構fix故 屬於 F_p,所以存在整數b，b-z=0 mod P，從而f(b)-f(z)=0mod P 所以f(b) \in P ,所以f(b） \in P 交 Z=p,所以f(b)=0 mod p
反過來，對G中元x，由密度定理存在無窮多p|P,使得Frobp|P=x，那麼由於f 模p有根b ,所以存在f一個根z，z=b mod P，所以x(z)=x(b)=b mod P，所以x(z)-z屬於P
由於f根有限個，p無窮多個，所以仍可找一個根z，使得x(z)-z屬於無窮多個P,
但是無窮多個P的交一定是0,所以x(z)=z
而3是由於mod p的分解型的種類與G這一置換表示的置換型的種類一一對應